乘法逆元

问题：求解组合数C(n,m)，即从n个相同物品中取出m个的方案数，由于结果可能非常大，对结果模10007即可。

方案1: 暴力求解，C(n,m)=n*(n-1)*...*(n-m+1)/m!，n<=15

方案2: 打表，C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)，n<=10,000

方案3: 质因数分解，C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)，C(n,m)=p1a1-b1-c1p2a2-b2-c2…pkak-bk-ck,n<=10,000,000

方案4: Lucas定理，将m,n化为p进制,有:C(n,m)=C(n0,m0)*C(n1,m1)...(mod p)，算一个不是很大的C(n,m)%p,p为素数，化为线性同余方程,用扩展的欧几里德定理求解，n在int范围内，修改一下可以满足long long范围内。

int Combination(int n, int m)
{
const int M = 10007;
int ans = 1;
for(int i=n; i>=(n-m+1); --i)
ans *= i;
while(m)
ans /= m--;
return ans % M;
}

const int M = 10007;
const int MAXN = 1000;
int C[MAXN+1][MAXN+1];
void Initial()
{
int i,j;
for(i=0; i<=MAXN; ++i)
{
C[0][i] = 0;
C[i][0] = 1;
}
for(i=1; i<=MAXN; ++i)
{
for(j=1; j<=MAXN; ++j)
C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % M;
}
}

int Combination(int n, int m)
{
return C
[m];
}

//用筛法生成素数
const int MAXN = 1000000;
bool arr[MAXN+1] = {false};
vector<int> produce_prim_number()
{
vector<int> prim;
prim.push_back(2);
int i,j;
for(i=3; i*i<=MAXN; i+=2)
{
if(!arr[i])
{
prim.push_back(i);
for(j=i*i; j<=MAXN; j+=i)
arr[j] = true;
}
}
while(i<=MAXN)
{
if(!arr[i])
prim.push_back(i);
i+=2;
}
return prim;
}

//计算n!中素因子p的指数
int Cal(int x, int p)
{
int ans = 0;
long long rec = p;
while(x>=rec)
{
ans += x/rec;
rec *= p;
}
return ans;
}

//计算n的k次方对M取模，二分法
int Pow(long long n, int k, int M)
{
long long ans = 1;
while(k)
{
if(k&1)
{
ans = (ans * n) % M;
}
n = (n * n) % M;
k >>= 1;
}
return ans;
}

//计算C(n,m)
int Combination(int n, int m)
{
const int M = 10007;
vector<int> prim = produce_prim_number();
long long ans = 1;
int num;
for(int i=0; i<prim.size() && prim[i]<=n; ++i)
{
num = Cal(n, prim[i]) - Cal(m, prim[i]) - Cal(n-m, prim[i]);
ans = (ans * Pow(prim[i], num, M)) % M;
}
return ans;
}

#include <stdio.h>
const int M = 10007;
int ff[M+5];  //打表，记录n!，避免重复计算

//求最大公因数
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
else
return gcd(b,a%b);
}

//解线性同余方程，扩展欧几里德定理
int x,y;
void Extended_gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
}
else
{
Extended_gcd(b,a%b);
long t=x;
x=y;
y=t-(a/b)*y;
}
}

//计算不大的C(n,m)
int C(int a,int b)
{
if(b>a)
return 0;
b=(ff[a-b]*ff[b])%M;
a=ff[a];
int c=gcd(a,b);
a/=c;
b/=c;
Extended_gcd(b,M);
x=(x+M)%M;
x=(x*a)%M;
return x;
}

//Lucas定理
int Combination(int n, int m)
{
int ans=1;
int a,b;
while(m||n)
{
a=n%M;
b=m%M;
n/=M;
m/=M;
ans=(ans*C(a,b))%M;
}
return ans;
}

int main(void)
{
int i,m,n;
ff[0]=1;
for(i=1;i<=M;i++)  //预计算n!
ff[i]=(ff[i-1]*i)%M;

scanf("%d%d",&n, &m);
printf("%d\n",func(n,m));

return 0;
}