【日常学习】【背包DP（完全背包）】洛谷1616 疯狂的采药题解

这是一道典型的完全背包题目

先上题目···于是又要迎来洛谷那令人不知道说什么的霸气摘要···

洛谷1616 疯狂的采药

本题地址： http://www.luogu.org/problem/show?pid=1616

题目背景

此题为NOIP2005普及组第三题的疯狂版。 此题为纪念LiYuxiang而生。

题目描述

LiYuxiang是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同种类的草药，采每一种都需要一些时间，每一种也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是LiYuxiang，你能完成这个任务吗？

此题和原题的不同点：

1.每种采药可以无限制地疯狂采摘。

2.药的种类眼花缭乱，采药时间好长好长啊！师傅等得菊花都谢了！

输入输出格式

输入格式：

输入第一行有两个整数T（1 <= T <= 100000）和M（1 <= M <= 10000），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到10000之间（包括1和10000）的整数，分别表示采摘某种草药的时间和这种草药的价值。
输出格式：

输出一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

输入输出样例

输入样例#1：

70 3
71 100
69 1
1 2

输出样例#1：

140

说明

对于30%的数据，M <= 1000；

对于全部的数据，M <= 10000。

完全背包问题（物体可以选无限件）解决方案：

for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		for (int j=v[i];j<=t;j++)
		{
			f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+c[i]);
		}
	}

再看01背包如何解决：

for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        for (int j=v;j>=a[i];j--)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-a[i]]+a[i]); 
        }
    }

我们惊奇地发现，两者的区别仅仅在于枚举体积循环，01背包是倒序，完全背包是正序。这是因为01背包要保证求解f[j]时，f[j-c[i]]是f[i-1][j-c[i]]而不是f[i][j-c[i]]。而完全背包恰恰相反，因为物品可选无数件，我们“选这件”需要考虑这件可能已经选了一些的情况，因此要保证求解f[j]时，f[j-c[i]]指的是f[i][j-c[i]]。

对于完全背包问题的常数优化，可以用“一种简单有效的优化”，就是把价值低于某物品且体积高于某物品的物品删去。背包九讲中提到可以用O（n²）或者O（V+N）的方案实现，但我并不明白具体如何实现，是将该物品对应的两个数组元素赋值为0或某个值，还是怎么样？

无论如何，先把代码放上来吧

——浮天水送无穷树，带雨云埋一半山