BZOJ2570：算符破译题解

【题目描述】
考古学发现，几千年前古梅文明时期的数学非常的发达，他们懂得多位数的加法和乘法，其表达式和运算规则等都与现在通常所用的方式完全相同（如整数是十进制，左边是高位，最高位不能为零；表达式为中缀运算，先乘后加等），唯一的区别是其符号的写法与现在不同。有充分的证据表明，古梅文明的数学文字一共有13个符号，与 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,+,*,= 这13个数字和符号（称为现代算符）一一对应。为了便于标记，我们用13个小写英文字母a,b,…m代替这些符号（称为古梅算符）。但是，还没有人知道这些古梅算符和现代算符之间的具体对应关系。
在一个石壁上，考古学家发现了一组用古梅算符表示的等式，根据推断，每行有且仅有一个等号，等号左右两边为运算表达式（只含有数字和符号），并且等号两边的计算结果相等。
假设这组等式是成立的，请编程序破译古梅算符和现代算符之间的对应关系。

【输入格式】
输入文件的第一行为等式的个数N（1<=N<=1000），以下N行每行为一个等式。
每个等式的长度为5个字符到11个字符。

【输出格式】
如果不存在对应关系能够满足这组等式，输出“noway”和一个换行/回车符。
如果有对应关系能够满足这组等式，输出所有能够确定的古梅算符和现代算符的对应关系。每一行有两个字符，其中第一个字符是古梅算符，第二个字符是对应的现代算符。输出按照字典顺序排序。

【样例输入】
2
abcdec
cdefe

【样例输出】
a6
b*
d=
f+

【样例说明】
在上例中，可能对应的现代表达式为{6*2=12，2=1+1}，{6*4=24，4=2+2}，{6*8=48，8=4+4}。可见，能够确定的对应关系只有a对应6，b对应*，d对应=，f对应+，应该输出；而{c,e}虽然能够找到对应的现代算符使得等式成立，但没有唯一的对应关系，不能输出。其他古梅算符{g,h…m}完全不能确定，也不能输出。

【分析】
相比消棋子我觉得还是这道题酸爽一点……毕竟不是单纯的模拟还要敲搜索疯狂的剪枝…………总之我讨厌写搜索，最让人痛恨的是调试搜索TAT
没有充足心里准备不要敲这道题= =

反正终归是水过了嘛……下面来讲讲怎么做的。
首先，裸的搜索要敲对吧（PS：爆搜连样例都过不去调试毛线啊……）
这里无视Std各种各样的优化（标程一共敲了600行）

然后编写是有一点要注意我们可以优先确定三个操作符的对应关系（体现在代码中的三个for循环，这样搜索就只需要搜数字）

第一个优化：搜索时位运算压位，方便编写，加快速度，这个看代码应该都能理解。
第二个优化：其实算不上优化，就是我开始比较蠢……没写位运算，然后就是说把判断放到了搜索完之后……显而易见 O(N!) 连样例都过不了。
第三个优化：确定了运算符之后我们就可以大致确定出等号两边的数的位数，也就是大概的范围，这样可以直接跳过大量不可能的情况。最重要的优化。（对应代码中的Pre_Dfs）

/**************************************************************
Problem: 2570
User: Array98
Language: C++
Result: Accepted
Time:136 ms
Memory:1060 kb
****************************************************************/

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int INF=int(1e9);
const int MaxN=1010;
int T;
char a[MaxN][15];
int len[MaxN],lg2[(1<<10)+10];
int w[15],Ans[15],st[15],cnt[15][MaxN];
bool c1[15],c2[15],mark[15],Map[150][1150];
char Equ,Mul,Add;
bool Solved;

inline int Id(char x) { return x-'a'; }

int calc()
{
int i,sum=0;
for(;mark[st[0]-1];st[0]--)
st[st[0]-1]=st[st[0]-1]*st[st[0]];
for (int i=1; i<=st[0]; i++) sum+=st[i]; st[0]=0;
return sum;
}

bool check(int d)
{
int Last=-1,L=-1,R=-1; st[0]=0;
for (int i=1; i<=len[d]; i++)
{
int c=w[Id(a[d][i])];
if(c>=0)
if(Last>=0)st[st[0]]=st[st[0]]*10+c;
else st[++st[0]]=c;
else
{
if(st[0]==0) return 0;
for(;mark[st[0]-1];st[0]--)
st[st[0]-1]=st[st[0]-1]*st[st[0]];

if(c==-3) mark[st[0]]=1;
else if(c==-1)L=calc();
else mark[st[0]]=0;
}
Last=c;
}
R=calc();
return L==R;
}

void Dfs(int d,int Now,int S)
{
bool Flag=1;
for (int i=0; i<=12; i++)
if(!(Ans[i]==w[i] || Ans[i]==-200)){ Flag=0; break; }
if(Flag) return;
if(d>T)
{
Solved=1;
for (int i=0; i<=12; i++) if(w[i]!=INF)
{
if(Ans[i]==-100) Ans[i]=w[i];
else if(Ans[i]!=w[i])Ans[i]=-200;
}
else Ans[i]=-200;
return;
}
else
{
if(Now>len[d])
{
if(check(d)) Dfs(d+1,1,S);
return;
}
int ch=Id(a[d][Now]);
if(w[ch]==INF)
{
for(int S2=S; S2; S2-=S2&-S2)
{
int t=lg2[S2&-S2];
if(Now==1 && t==0 && w[Id(a[d][2])]>0)continue;
w[ch]=t;
Dfs(d,Now+1,S-(S2&-S2));
w[ch]=INF;
}
}
else Dfs(d,Now+1,S);
}
}

int M,lw[15],rw[15];

void Get_Range(int &L, int &R)
{
L=R=0;
for (;M;M--) L=max(L,lw[M]),R=max(rw[M],R)+(R>0);
}

bool Pre_Dfs()
{
int Last,L_l,L_r,R_l,R_r;
for (int d=1; d<=T; d++)
{
M=0;Last=-1;
for (int i=1; i<=len[d]; i++)
{
int c=w[Id(a[d][i])];
if(c==INF)
{
if(Last<0) M++,lw[M]=rw[M]=0;
lw[M]++,rw[M]++;
}
else
{
if(M==0)return 0;
for(; mark[M-1]; M--) lw[M-1]+=lw[M]-1,rw[M-1]+=rw[M];

if(c==-3) mark[M]=1;
else if(c==-2) mark[M]=0;
else if(c==-1) Get_Range(L_l,L_r);
}
Last=c;
}
Get_Range(R_l,R_r);
if(L_r<R_l || R_r<L_l)
{
return 0;
}
}
return 1;
}

int main()
{
scanf("%d",&T);
for (int i=1; i<=T; i++) scanf("%s",a[i]+1),len[i]=strlen(a[i]+1);
for (int i=0; i<=15; i++) lg2[1<<i]=i,Ans[i]=-100;
memset(c1,1,sizeof(c1));

for(char i='a';i<='m';i++)
for (int j=1; j<=T; j++)
{
bool Flag=1;
for (int k=1; k<=len[j]; k++)
{
if(k<len[j]) Map[a[j][k]][a[j][k+1]]=Map[a[j][k+1]][a[j][k]]=1;
if(a[j][k]==i) cnt[Id(i)][j]++;
}
if(cnt[Id(i)][j]!=1) Flag=0;
if(a[j][1]==i || a[j][len[j]]==i){ c1[i-'a']=0; Flag=0; }
c2[Id(i)]=Flag;
}

for(Equ='a'; Equ<='m'; Equ++) if(c2[Id(Equ)])
for(Mul='a'; Mul<='m'; Mul++) if(c1[Id(Mul)])
for(Add='a'; Add<='m'; Add++) if(c1[Id(Add)])
if(Equ!=Mul && Add!=Mul && Equ!=Add)
if(!Map[Equ][Mul] && !Map[Equ][Add] && !Map[Mul][Add])
{
for (int i=0; i<=12; i++) w[i]=INF;
w[Id(Equ)]=-1; w[Id(Add)]=-2; w[Id(Mul)]=-3;
if(!Pre_Dfs()) continue;
Dfs(1,1,(1<<10)-1);
}

for (int i=0; i<=12; i++)
if(Ans[i]>=-3)
{
putchar('a'+i);
if(Ans[i]==-3)putchar('*');
else if(Ans[i]==-2)putchar('+');
else if(Ans[i]==-1)putchar('=');
else putchar('0'+Ans[i]);
putchar('\n');
}
if(!Solved) printf("noway\n");

return 0;
}