【NOIP2006】能量项链题解

题面

【问题描述】

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=10*2*3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

【输入文件】

输入文件energy.in的第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i

【输出文件】

输出文件energy.out只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*109），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

【输入样例】

4

2 3 5 10

【输出样例】

710

题解

分析

DP题，与石子合并和矩阵连乘都很相似。

首先项链是环状的，我们肯定要把它从某处断开，从哪断开呢？枚举咯。

当我们已经把它从某处断开以后，将断开后的珠子按顺序依次标号为1~n

这时如果我们用emax[i][j]e_max[i][j]表示从第i颗珠子到第j颗珠子合并所能得到的最大能量，则所求即为emax[1][n]e_max[1]
。

如果再用e[i]表示第i颗珠子的头标记，那么容易发现状态转移方程：emax[i][j]=max(emax[i][k]+emax[k+1][j]+e[i]∗e[k+1]∗e[j+1])e_max[i][j]=max(e_max[i][k]+e_max[k+1][j]+e[i]*e[k+1]*e[j+1])，其中，i<=k<ji<=k。

这样，枚举断开点i、j、k，复杂度为O(n4)O(n^4)。这对于n<=100的数据来说跑极限数据可能有超时的危险。那么复杂度再能不能降了呢？

我们可以在读入数据时把e[]复制一份，像这样：

fin>>e[i];
e[i+n]=e[i];

这样我们就可以不需要枚举断开点了，因为当断开点为n|1时，其对应emax[1][n]e_max[1]
；当断开点为1|2时，其对应emax[2][n+1]e_max[2][n+1]；以此类推。这样，算法的复杂度便降为O(n3)O(n^3)，其对于n<=100的数据来说显然是可以全部通过的。

另外，通过那个状态转移方程，我们可以发现emax[i][j]e_max[i][j]是由emax[i][k]e_max[i][k]和emax[k+1][j]e_max[k+1][j]转移而来的，由于k<jk、j<=jj<=j、i>=ii>=i、k+1>ik+1>i，所以先自小到大枚举j再自大到小枚举i对写出程序来说方便了很多。

代码

#include<iostream>

#include<string.h>

#define maxn 105

using namespace std;

int main()
{
freopen("energy.in","r",stdin);
freopen("energy.out","w",stdout);
int n,w[maxn],dp[maxn][maxn];
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i];
memset(dp,0,sizeof(dp));
for (int len=2;len<=n;len++){
for (int i=1;i<=n;i++){
int j=i+len-1;
int Max=-1000000000;
for (int k=i;k<=j-1;k++){
if (dp[i][(k-1)%n+1]+dp[k%n+1][(j-1)%n+1]+w[i]*w[k%n+1]*w[j%n+1]>Max)
Max=dp[i][(k-1)%n+1]+dp[k%n+1][(j-1)%n+1]+w[i]*w[k%n+1]*w[j%n+1];
}
dp[i][(j-1)%n+1]=Max;
}
}
int Max=-1000000000;
for (int i=1;i<=n;i++) if(Max<dp[i][(i+n-2)%n+1]) Max=dp[i][(i+n-2)%n+1];
cout<<Max<<endl;
return 0;
}

分析问题很重要