三大抽样分布

1. χ2\chi^2 分布

\qquad设X1,X2,⋯,Xn∼N(0,1)X_1,X_2,\cdots,X_n\sim N(0,1)，则称统计量:

χ2=X21+X22+⋯+X2n=∑i=1nX2i\chi^2=X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2=\sum_{i=1}^{n}X_i^2

\qquad服从自由度为n的χ2\chi^2分布，记为χ2∼χ2(n)\chi^2\sim\chi^2(n)。有E(χ2)=n,D(χ2)=2n.E(\chi^2)=n,D(\chi^2)=2n.

\qquad对于给定的α:0<α<1\alpha:0<\alpha<1，称满足条件:

P{χ2>χ2α(n)}=αP\{\chi^2>\chi_\alpha^2(n)\}=\alpha

\qquad的点χ2α(n)\chi_\alpha^2(n)为χ2(n)\chi^2(n)分布的上侧α\alpha分位点 。

\qquad但n>45n>45时，χ2α(n)≈12(zα+2n−1−−−−−√)2\chi_\alpha^2(n)\approx\frac{1}{2}(z_\alpha+\sqrt{2n-1})^2。

2. t 分布

\qquad若X∼N(0,1),Y∼χ2(n)X\sim N(0,1),Y\sim\chi^2(n)，并且XX与YY相互独立，则称随机变量:

T=XY/n−−−−√T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}

\qquad服从自由度为nn的tt分布t(n)t(n)，可记为T∼t(n)T\sim t(n)。

\qquad对于给定的α:0<α<1\alpha:0<\alpha<1，称满足条件：

P{T>tα(n)}=αP\{T>t_\alpha(n)\}=\alpha

\qquad的点tα(n)t_\alpha(n)为t(n)t(n)分布的上侧α\alpha分位点。

\qquad由其图形的对称性可知：t1−α(n)=−tα(n)t_{1-\alpha}(n)=-t_\alpha(n)。

3. F 分布

\qquad设U∼χ2(n1),V∼χ2(n2)U\sim\chi^2(n_1),V\sim\chi^2(n_2)，且UU与VV相互独立，则称随机变量：

F=U/n1V/n2F=\frac{U/n_1}{V/n_2}

\qquad服从自由度为(n1,n2)(n_1,n_2)的FF分布，记为F(n1,n2)F(n_1,n_2)，即F∼F(n1,n2)F\sim F(n_1,n_2)。应用上常称F(n1,n2)F(n_1,n_2)中的n1n_1为第一自由度，n2n_2为第二自由度。

\qquad对于给定的α:0<α<1\alpha:0<\alpha<1，则称满足条件：

P{F>fα(n1,n2)}=αP\{F>f_\alpha(n_1,n_2)\}=\alpha

\qquad的点fα(n1,n2)f_\alpha(n_1,n_2)为F(n1,n2)F(n_1,n_2)分布的上侧α\alpha分位点。

\qquad有FF定义可知，若F∼F(n1,n2)F\sim F(n_1,n_2)，则：1/F∼F(n2,n1)1/F\sim F(n_2,n_1)

\qquad故FF分布的上侧α\alpha分位点有如下性质：

f1−α(n1,n2)=1/fα(n2,n1)f_{1-\alpha}(n_1,n_2)=1/f_\alpha(n_2,n_1)