Climbing Stairs爬楼梯——动态规划

题目描述：

初阶：有n层的台阶，一开始你站在第0层，每次可以爬两层或者一层。请问爬到第n层有多少种不同的方法？

进阶：如果每次可以爬两层，和倒退一层，同一个位置不能重复走，请问爬到第n层有多少种不同的方法？

解题思路：

初阶：一维动态规划。爬楼梯数目其实是一个斐波拉契数列。

假定f[i] 表示是爬到第i层的方法，那么f[i] = f[i-1] + f[i-2] //第i层的方法数目等于第i-1层数目加上第i-2层数目。

初值：f[0] = 1, f[1] = 1。 //最开始没有爬和第一层的方法数目为1.

输出：f
爬到第n层的方法数目。

实现方法两种：迭代法、递归法

递归法：时间复杂度：O(n) ，空间复杂度：O(n)

迭代法：时间复杂度：O(n)，空间复杂度：O(1)

//递归法

class Solution {
public:
/**
* @param n: An integer
* @return: An integer
*/
int climbStairs(int n) {
// write your code here
vector<int> ans(n+1);
ans[0] = 1;
ans[1] = 1;
for(int i=2; i<=n; i++)
ans[i] = ans[i-1] + ans[i-2];
return ans
;
}
};

//迭代法

class Solution {
public:
/**
* @param n: An integer
* @return: An integer
*/
int climbStairs(int n) {
// write your code here
int prev = 0;
int cur = 1;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
int tmp = cur;
cur += prev;
prev = tmp;
}
return cur;
}
};

进阶：参考这里
主要是倒退一层，这个地方可能会违背动态规划无后效性的原则。 那么我们要怎么转化呢？

由条件：同一个位置不能重复走。我们可以知道如果要退步的话，不能退两层以上，因为用两步退两层再一步前进两层，那就会走相同的位置。所以我们最多只能退后一步。

那么题目的条件就可以转换两种情况，

a.跳两层（前进两层）。

b.退一层跳两层 （前进一层）。

1. State:

f[i][0] 表示最后一步是跳两层情况下爬到第i层的方法数目。

f[i][1] 表示最后是一步是退一层跳两层的情况下爬到第i层的方法数目。

2. Function:

f[i+1][1] = f[i][0] 最后一步是退一层跳两层的情况下爬到第i+1层的方法数目
等于 从第i层情况a的数目跳两层退一层。

这里不能考虑第i层的情况b的方法数，因为第i层情况b的数目是从第i+1层退一步得到的。

f[i+2][0] = f[i][0]+f[i][1] 最后一步是退一层跳两层的情况下爬到第i+2层的方法数目
等于 第i层所有情况跳两层。

3. Intialize:

f[0][0]=1初始化最开始没有爬的方法数目为1.

4. Answer:

f
[0]+f
[1] 爬到第n层a、b两种不同的方法的总和