博弈初识

常见的3种博弈游戏：

nim game(异或理论)：

m堆n个物品，两人轮流取，每次取某堆中不少于1个，最后取完者胜。

这个游戏的变量是堆数k,以及各堆的硬笔数n1,n2,n3---nk。要解决的问题是游戏人A获胜还是游戏人B获胜。假设A先取，B后。现在来研究策略：

特殊情况：当只剩一堆子，必是A获胜。

当剩下两堆子，如果n1!=n2，A从大堆中取子使得最后两堆子的个数相等。B取子后必然打破这种平衡态，再一次让n1!=n2，A重复刚刚的步骤，B也重复。最后可以推测出A取完一堆的子，两堆变成0，又达到平衡态，A获胜。

一般情况：有k堆子，各堆的个数是n1,n2,n3----nk。把所有的个数统统展开成2进制数：

n1=am---a2a1a0

n2=bm---b2b1b0

…… (例如：57=111001)

nk=wm---w2w1w0

设s0=a0+b0+……+w0; s1=a1+b1+……+w1 …… sm=am+bm+……+wm。

我们称si是偶数时为平衡态，是奇数时为非平衡态。于是当所有的对应位数和si是偶数时为平衡态，要是有一个si是奇数则为非平衡态。

对于一般情况：假设取子游戏是非平衡的，非平衡位是j位，A取子使得j位变回平衡态（要是有多个非平衡位就变多个对应位为平衡位）。B处在平衡态，他取子后必然会变成非平衡态，A重复刚刚的步骤，B也重复。最后可以推测出A取完一堆的子，两堆变成0，又达到平衡态，A获胜。

因此的到结论：游戏人A能够在非平衡态的nim取子游戏中获胜，而游戏人B能在平衡的nim取子游戏中获胜。

模拟一般情况：







计算模拟：

所有堆的子数的二进制异或是0（平衡态），Ａ（先手）输。（用异或快速判断各位数字和奇偶性，０为偶，非０为奇）

所有堆的子数的二进制异或不是0，Ｂ（后手）输。

bash game(同余理论):

一堆n个物品，两人轮流取，每次取1至m个，最后取完者胜。



Wythoff Game（黄金分割）：

两堆（ak,bk）(ak<=bk)个物品，两人轮流取，每次从一堆中取k个或者从2堆中同时取k个，最后面对(0,0)局面的输。





奇异局的判断：黄金比例是φ=1.618033 ，Ak=[k*φ]，Bk=Ak+k=[k*φ*φ]

判断策略是 k = bk-ak ,如ak=k*φ时，当前局势为奇异局（必输局）。

如果堆中数量随机，先手一方优势很大。