Unique Binary Search Trees - LeetCode 96

题目描述：

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,

Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

1 3 3 2 1

\ / / / \ \

3 2 1 1 3 2

/ / \ \

2 1 2 3

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分析：

动态规划:对于动态规划类型的题目，最重要的就是找到递推公式。该题要求含有1到n，n个整数的二叉搜索树的个数。首先二叉搜索树的特征是根节点大于其左子树的

所有节点，但小于右子树的所以节点。当根为 i 时，其左子树的的节点个数为i-1，右子树的个数为n-i，此时，以i为根不同的二叉搜索树的个数为左右子数的不同二叉

树的个数的乘积。我们先看看前面几个n的不同二叉搜索的的个数u。

当n = 0，不含有任何节点，是一个空树二叉搜索树，u[0] = 1;

当n = 1，只有一个节点，只有一种结构，u[1] = 1;

当n = 2，有两个节点，其中根节点的选择可以是1和2，当根为1时，左孩子为空，右孩子为2；当根为2时左孩子为1，右孩子为空，

于是可以得出u[2] = u[0] * u[1] + u[1]*u[0];

同理当n为3时，不同的二叉搜索树的总数为

u[3] = u[0]*u[2] //以1为根节点时的不同二叉搜索树数目

+ u[1]*u[1] //以2为根节点时的不同二叉搜索树数目

+ u[2]*u[0]; //以3为根节点时的不同二叉搜索树数目。

于是可以得出以下递推公式：

u[i] = 求和{u[j] * u[i-j-1]},其中0<=j<i

以下是C++实现代码，附带注释：

/*///////////////0ms//////////////*/
class Solution {
public:
int numTrees(int n) {
vector<int> vec(n+1,0);
vec[0] = 1;
vec[1] = 1;
for(int i = 2; i< n+1; i++) //求有i个节点的二叉树的不同二叉搜索树总数。
{
vec[i] = 0;
for(int j = 0; j < i; j++) //求出以i为根节点的不同二叉搜索树的总数
{
vec[i] += vec[j] * vec[i-1-j];//求以i为根，左子树为0个节点，右子树为i-1-j个结点的不同二叉搜索树的总数
}
}
return vec
;
}
};