算法导论笔记：13-03红黑树删除

红黑树的删除操作花费O(lg n)时间，删除算法与二叉搜索树的删除类似，首先红黑树的TRANSPLANT版本有些许不同，主要是因为红黑树使用nil结点代替NULL指针造成的：
RB-TRANSPLANT(T, u, v)
if u.p ==T.nil
T.root= v
else if u== u.p.left
u.p.left= v
else u.p.right= v
v.p = u.p

删除操作的代码如下：

RB-DELETE(T.z)

y = z

y-original-color = y.color

if z.left == T.nil

x = z.right

RB-TRANSPLAN(T, z, z.right)



else if z.right == T.nil

x = z.left

RB-TRANSPLAN(T, z, z.left)



else y = TREE-MINIMUM(z.right)

y-original-color= y.color

x= y.right

if y.p == z

x.p= y


else RB-TRANSPLANT(T, y, y.right)

y.right= z.right

y.right.p= y

RB-TRANSPLANT(T,z, y)

y.left = z.left

y.left.p= y

y.color= z.color



if y-original-color == BLACK

RB-DELETE-FIXUP(T.x)




调整代码如下：

RB-DELETE-FIXUP(T, x)

while x != T.root and x.color == BLACK

if x == x.p. left

w = x.p.right

if w.color == RED

w.color =BLACK // case 1

x.p.color =RED // case 1

LEFT-ROTATE(T,x.p) // case 1

w = x.p.right // case1



if w.left.color ==BLACK and w.right.color == BLACK

w.color= RED //case 2

x= x.p //case 2



else if w.right.color == BLACK

w.left.color = BLACK // case 4

w.color = RED // case 4

RIGHT-ROTATE(T,w) // case 4

w = x.p.right // case 4



w.color = x.p.color // case 3

x.p.color = BLACK // case 3

w.right.color = BLACK // case 3

LEFT-ROTATE(T, x.p) // case 3

x = T.root // case 3



else(same as then clause with “right” and “left” exchanged)

......

x.color= BLACK



根据代码，可以将删除操作分为四种情况（等同于二叉搜索树的删除），代码中的x, y, z的意思如下：

z表示要删除的元素；

y表示实际要删除的元素，对于前两种情况（z只有一个孩子），y就是z；对于后两种情况（z有俩孩子），y是z的后继元素。

x表示删除y之后，代替y所在位置的元素。

具体情况如下图， ：







情况一，二很简单，不再赘述，对于情况三和四，表面上看好像是删除了结点z，实际上是删除了结点y，因为在结点z的位置上，下面的代码保证了：除了z.key变成了y.key，其他的属性left,
right, p, color都没有发生实质的变化。
所以，在红黑树中，实际上是删除了结点y，而结点x则成为在y所在位置的新节点。

y.right = z.right

y.right.p= y

RB-TRANSPLANT(T, z, y)

y.left= z.left

y.left.p= y

y.color= z.color



得出上面的结论后，就看下删除y结点之后，给红黑树的性质带来了哪些变化：

如果y的颜色是RED，则y不可能为红黑树的根，所以不管x的颜色是什么，都不会影响到红黑树的性质。所以只考虑y的颜色为BLACK的情况。



在y的颜色是BLACK的情况下，如果x的颜色为RED的话，删除y之后，结点y所在的分支的黑高就会减1，所以，只需要将x的颜色变为BLACK，则该分支的黑高会加1，则会保持住红黑树的颜色性质。



所以最终要考虑的情况就是，y颜色为BLACK，x的颜色为BLACK的情况。因把y删除后，x顶替y的位置，y所在分支的黑高减1，所以，假设x节点的颜色为BLACK-BLACK，简称BB，也就是原来y的BLACK增加到x上了，这样就保证了该分支的黑高不变，接下来要做的就是调整x所在的分支，使红黑树的性质保持不变，又分为下面的几种情况（只考虑x为左孩子的情况，右孩子的情况是对称的）：



对于下面四种情况之间的转换，需要保证转换前和转换后，红黑树的性质都得到了维持。



1：x的兄弟结点w的颜色为RED，记为case1。

因为w为RED，所以x.p的颜色为BLACK，w的两个孩子的颜色都为BLACK，如下图：



转换前，满足下面的性质：

a：bh(p) =bh(x) + 2 = bh(w) = bh(1) + 1 = bh(2) + 1

b：整个分支的黑高为bh(p)+ 1 (p.color == BLACK) = bh(x) + 3



对于这种情况，需要做的调整的代码如下：

w.color =BLACK // case1

x.p.color =RED // case1

LEFT-ROTATE(T,x.p) // case 1

w = x.p.right // case1



经过w.color = BLACK和x.p.color = RED的调整后，如下图：



对结点p进行左旋：LEFT-ROTATE(T, x.p)，左旋之后，得到下面的图：



调整后，满足下面的性质：

a：bh(x), bh(1), bh(2)的值保持不变

b：因调整前有：bh(x)+ 2 = bh(1) + 1 = bh(2) + 1

所以，bh(p) = bh(x) + 2 = bh(1) + 1，所以p结点为根的子树满足红黑树性质；


bh(w) = bh(2) + 1 = bh(p)，所以w结点为根的子树满足红黑树性质



c：整个分支的黑高为bh(w)+ 1 (w.color == BLACK) = bh(x) + 3，所以，整个分支的黑高没变



这时，x的兄弟的颜色为BLACK，所以经过w = x.p.right后，得到了另外一种情况；



这种情况下，要根据w的孩子结点的颜色不同分为三种情况：



2：首先是w的孩子的颜色都是BLACK的情况下，记为case2：



转换前，满足下面的性质：

a：bh(p) =bh(x) + 2 = bh(1) + 2 = bh(2) + 2 = bh(w)+1



b：整个分支的黑高为bh(p)+ 1/0(p.color == BLACK?1:0) = bh(x) + 3/2(p.color == BLACK?3:2)



对于这种情况，需要调整的代码为：

w.color = RED // case 2

x= x.p //case 2



调整后，得到下面的图：



调整后，满足下面的性质：

a：bh(x), bh(1), bh(2)的值保持不变

b：因调整前有：bh(x)+ 2 = bh(1) + 2 = bh(2) + 2

所以，bh(


)= bh(x) + 1 = bh(1) + 1 = bh(2) + 1，
结点为根的子树满足红黑树性质； bh(w) = bh(1) + 1 = bh(2) + 1， w结点为根的子树满足红黑树性质



如果p，也就是 的颜色为RED，则退出循环，并且置

颜色为BLACK。

c：整个分支的黑高为bh(


)+ 1 (

.color==
BLACK) = bh(x) + 2，所以，整个分支的黑高没变。



如果p的颜色为BLACK，则

的颜色为BLACK-BLACK。

c：整个分支的黑高为bh(


)+ 2 ( .color== BB) = bh(x) + 3，所以，整个分支的黑高没变。



这样， 之下的结点维持了红黑树的性质，然后以 为新的结点继续循环处理。



3：如果w的右孩子结点为RED，左节点颜色为任意，case3：



转换前，满足下面的性质：

a：bh(p) =bh(x) + 2 = bh(2) + 1 = bh(1) + 2/1(1.color == BLACK?2:1)



b：整个分支的黑高为bh(p)+ 1/0(p.color == BLACK?1:0) = bh(x) + 3/2(p.color == BLACK?3:2)


对于这种情况，需要调整的代码为：
w.color = x.p.color // case 3

x.p.color= BLACK //case 3

w.right.color= BLACK //case 3

LEFT-ROTATE(T,x.p) // case3

x = T.root //case 3



经过w.color = x.p.color; x.p.color = BLACK；w.right.color = BLACK之后，得到下面的图：



经过LEFT-ROTATE(T, x.p)和x = T.root之后，得到下图：



调整后，满足下面的性质：

a：bh(x), bh(1), bh(2)的值保持不变

b：因调整前有：bh(x)+ 2 = bh(2) + 1 = bh(1) + 2/1(1.color == BLACK?2:1)

所以，bh(w) = bh(x) + 2 = bh(2) + 1 = bh(1) +2/1(1.color == BLACK?2:1)，w结点为根的子树满足红黑树性质； bh(p)
= bh(x) + 1 = bh(1) + 1/0(1.color == BLACK?1:0)， w结点为根的子树满足红黑树性质



c：整个分支的黑高为bh(w) + 1/0(p.color == BLACK?1:0)= bh(x) = 3/2(p.color == BLACK?3:2)。所以整个分支的黑高没变。



4：如果w的右孩子结点为BLACK，左节点颜色为RED，case4：



转换前，满足下面的性质：

a：bh(p) =bh(x) + 2 = bh(2) + 2 = bh(1) + 1 = bh(3) + 2 = bh(4) + 2



b：整个分支的黑高为bh(p)+ 1/0(p.color == BLACK?1:0) = bh(x) +3/2(p.color == BLACK?3:2)


对于这种情况，需要调整的代码为：
w.left.color= BLACK // case 4

w.color= RED //case 4

RIGHT-ROTATE(T,w) // case 4

w= x.p.right //case 4


经过w.left.color = BLACK和w.color = RED的调整后，得到下面的图：



经过RIGHT-ROTATE(T.w)和w = x.p.right的调整之后，得到下面的图：



调整后，满足下面的性质：
a：bh(x), bh(3), bh(4), bh(2)的值保持不变

b：因调整前有bh(x)+ 2 = bh(2) + 2 = bh(3) + 2 = bh(4) + 2，所以：

bh(w)= bh(4) + 1 = b(2) + 1，所以，w为根节点的子树红黑树性质没变；
bh(


)= bh(3) + 1 = bh(4) + 1 = b(2) + 1，所以，
为根节点的子树红黑树性质没变；
bh(p)= bh(x) +2 = bh(3) + 2 = bh(4) + 2 = b(2) + 2，所以，p为根节点的子树红黑树性质没变；

c：整个分支的黑高为bh(p)+ 1/0(p.color == BLACK?1:0) = bh(x) +3/2(p.color == BLACK?3:2)，所以整个分支的黑高。



同时注意到，新的w（

）颜色为BLACK，而其右孩子为RED，符合case3。

分析：

n个结点的红黑树高度为O(lg n)，不调用RB-DELETE-FIXUP时，时间代价为O(lg n)，情况1可以转换为情况2；也可以转换为情况3，然后退出循环；也可以转换为情况4，然后情况4可以转换为情况3，情况3只执行一次循环。情况2是唯一能在while循环中执行多次的情况，所以RB-DELETE-FIXUP的时间复杂度为O(lg n)。所以，红黑树的删除的时间复杂度为O(lg n)。