算法导论笔记：13-02红黑树插入

红黑树的插入可在O(lg n)完成，红黑树的插入类似于二叉搜索树的插入，为了尽量维护红黑树的性质，将插入的新节点标记为RED，然后调用RB-INSERT-FIXUP对红黑树的性质进行维护，RB-INSERT代码如下：



RB-INSERT(T,z)

y = T.nil

x = T.root

while x != T.nil

y = x

if z.key < x.key

x = x.left

else x = x.right

z.p = y



if y == T.nil

T.root= z

else if z.key < y.key

y.left= z

else y.right = z



z.left = T.nil

z.right = T.nil

z.color = RED



RB-INSERT-FIXUP(T, z)



RB-INSERT-FIXUP负责在插入之后，维护红黑树的性质，代码如下：

RB-INSERT-FIXUP(T,z)

while z.p.color == RED

if z.p == z.p.p. left

y = z.p.p.right

if y.color == RED

z.p.color = BLACK // case 1

y.color = BLACK // case 1

z.p.p.color = RED // case 1

z = z.p.p // case 1

else

if z == z.p.right


z= z.p
//case 3


LEFT-ROTATE(T,z) // case 3




z.p.color= BLACK // case 2


z.p.p.color= RED // case 2


RIGHT-ROTATE(T,z.p.p) // case 2

else(same as then clause with “right” and “left” exchanged)

y = z.p.p.left

if y.color == RED


z.p.color = BLACK // case 1


y.color = BLACK // case 1


z.p.p.color = RED // case 1


z = z.p.p // case 1

else

if z == z.p.left


z = z.p //case 3


RIGHT-ROTATE(T,z) // case 3



z.p.color= BLACK // case2

z.p.p.color= RED // case2

LEFT-ROTATE(T,z.p.p) // case 2

T.root.color = BLACK



对于新插入的结点z来说，因z的颜色为红色，所以，性质1,3,5都不会早到破坏，性质2,4有可能被破坏。如果z是根节点，则破坏了性质2，如果z的父节点为红色，则破坏了性质4。如果z的父节点z.p为黑色的话，则红黑树的性质没有发生改变。若z为根节点，则直接置root的color为BLACK即可。所以只考虑z的父节点为RED的情况。



根据z的父节点是左孩子或者右孩子的处理方法是对称的，所以只考虑z的父节点是左孩子的情况（if
z.p == z.p.p. left）。根据z的叔叔结点y的颜色不同，以及z所处的位置，分为以下三种情况：



1：z的叔叔结点y的颜色为RED，记为case1：

这种情况，不管z是左孩子，还是右孩子，都是同样的处理方法：


z是右孩子


z是左孩子。

这种情况的处理代码是：

z.p.color = BLACK // case 1

y.color = BLACK // case 1

z.p.p.color = RED // case 1

z = z.p.p // case 1

得到下面的图：


z是右孩子


z是左孩子



这种情况就是把z的父节点和叔叔结点y都变成BLACK，然后z的祖父结点变为RED，然后使祖父结点成为新的z，继续向上处理。

这种处理方式，各个分支的黑高没有发生变化，同时维护了原红色z的父节点为BLACK的性质。

这样处理之后，可以转变为剩下的情况2或者3的一种：



2：z的叔叔结点y的颜色为BLACK，z为左孩子，记为case2：

这种情况下， 因为z的父节点是RED，所以z的祖父节点是BLACK，如下图：



这种情况下的调整代码为：

z.p.color = BLACK // case 2

z.p.p.color= RED // case 2

RIGHT-ROTATE(T,z.p.p)

将z的父节点变为BLACK，祖父节点变为RED，同时对祖父节点进行右旋，得到下面的图：



这种情况下，整个分支的黑高保持不变，同时内部分支的黑高也维持了性质5。同时，z的父节点不再是RED，所以退出循环。

3：z的叔叔结点y的颜色为BLACK，z为右孩子，记为case3：

这种情况与case2类似，如下图;



这种情况下的调整代码为：
z = z.p // case 3

LEFT-ROTATE(T, z) // case 3
调整后得到下面的图：



调整后，各个分支的黑高没有发生任何变化，同时，变成了与case2吻合的情况。


分析：
n个结点的红黑树高度为O(lg n)，插入操作中，除了最后一步外，剩下的操作与二叉搜索树的插入相同，也就是时间复杂度为O(lg
n)。在RD-INSERT-FIXUP中，仅当case1时，z才沿着树上升，while循环才会重复执行。所以while的重复次数为O(lgn)。如果是case2或者3，则while循环直接结束。所以，RB-INSERT的时间复杂度为O(lg
n)。