拓扑排序--关键路径

拓扑排序和关键路径是基于无环的有向图。

主要用来表示工程进度中各个事件之间的关系。

拓扑排序和关键路径 使用邻接表存储数据，最小生成树和最短路径用 邻接矩阵 存储数据。

1、拓扑排序

AOV网：在一个表示工程的有向图中，用固定点表示活动，用弧表示活动之间的优先级关系，这样的有向图为顶点表示活动的网，我们称之为AOV网（Activity On Vertex Network）

拓扑排序：是将一个AOV网的各个顶点按一定顺序排列，要求满足若存在<Vi，Vj>，则排序中的顶点Vi必在顶点Vj之前。对于同一幅图，拓扑排序可有多个拓扑排序。

在显示生活中，用到的拓扑排序的例子：

学校课程布置图，要先修完一些基础课，才可以继续修专业课，以计算机软件专业为例，在《程序设计基础》和《离散数学》课程学完之前就不能开始学习《数据结构》，这些先决条件定义了课程之间的优先（领先）关系。

算法：

（1）从有向图中选择一个无前驱（入度为0）的顶点输出。

（2）删除此顶点，并删除已此顶点为为尾的弧。

（3）重复（1），（2）步骤，知道输出全部顶点或者AOV网中不存在入度为0的顶点。

具体实现代码：

用栈来保存入度为0的顶点，和更新后入度为0的顶点

分析整个算法，对一个具有n个顶点e条弧的AOV网来说，将入度为0的顶点入栈的时间复杂度为O(n)，而之后的while循环中，每个顶点入一次栈，出一次栈，入度减1的操作执行了e次，所以整个算法时间复杂度为O(n+e)。

2、关键路径

拓扑排序是解决一个工程能否顺序进行的问题，但有时还需解决工程完成需要的最短时间。

AOE网：在一个表示工程带权的有向图中，用顶点表示事件，用有向边表示活动，用边上的权值表示活动的持续时间，这种用有向图的边表示活动的网，我们称之为AOE网（Activity On Edge Network）













用ve(i)表示事件（即顶点)i的最早开始时间，用vl(i)表示事件i的最开始时间，如果活动k由弧<m,n>表示，用dut(<m,n>)表示活动的持续时间，则有：

e(k) = ve(m)

l(k) = vl(n) - dut(<m,n>)

求解关键路径的具体算法（假设图中有n个顶点)

(1) 从开始顶点V0出发，假设ve(0)=0，然后按照拓扑有序求出其他各顶点i的最早开始时间ve(i)，如果得到拓扑序列中顶点数目小于图中的顶点数，则表示图中存在回路，算法结束，否则继续执行。

（2）从结束顶点Vn出发，假设vl(n-1) = ve(n-1);然后求出各顶点i的最晚发生时间。

（3）根据顶点的最早发生时间，和最晚发生时间，依次求出出每条弧的最早开始时间和最晚开始时间，如果两只相等，则为关键活动。关键活动组成的路径则为关键路径。

具体实现代码：