图（拓扑排序和关键路径）

一：何谓“拓扑排序”？

假设以有向图表示一个工程的施工图或程序的数据流图（AOV网），则图中不允许出现回路。

检查有向图中是否存在回路的方法之一，是对有向图进行拓扑排序。

对有向图进行如下操作：

按照有向图给出的次序关系，将图中顶点排成一个线性序列，对于有向图中没有限定次序关系的顶点，则可以人为加上任意的次序关系。由此所得顶点的线性序列称之为拓扑有序序列。

二：如何进行拓扑排序？

一、从有向图中选取一个没有前驱

        的顶点，并输出之；

二、从有向图中删去此顶点以及所

        有以它为尾的弧；

重复上述两步，直至图空，或者图不空但找不到无前驱的顶点为止。

拓扑排序算法



总是删除入度为0的顶点并输出之。
注意：拓扑排序的结果不一定是唯一的。
 

2.2 关键路径


 

问题:


假设以有向网表示一个施工流图，弧上的权值表示完成该项子工程所需时间。

问：哪些子工程项是“关键工程”？

即：哪些子工程项将影响整个工程的完成期限的。


用边表示活动的网络(AOE网络)

l如果在无有向环的带权有向图中

• 用有向边表示一个工程中的各项活动(Activity)

• 用边上的权值表示活动的持续时间(Duration)

• 用顶点表示事件(Event)

   则这样的有向图叫做用边表示活动的网络，简称AOE (Activity On Edges)网络。

　AOE网络在某些工程估算方面非常有用。例如，可以使人们了解：
    (1) 完成整个工程至少需要多少时间
    (2) 为缩短完成工程所需的时间, 应当加快哪些活动? 

AOE 网(活动在边上)，边代表活动或任务，顶点代
表事件。
l在AOE网络中, 有些活动顺序进行，有些活
动并行进行
l事件i发生后，其后继活动a(i,*)都可以开始

只有所有先导活动a(*,j)都结束后，事件j才
发生。

整个工程完成的时间为：从有向图的源点到汇点的最长路径。

例如:
 



“关键活动”指的是：该弧上的权值增加将使有向图上的最长路径的长度增加。

从源点到各个顶点，以至从源点到汇点的有向路径可能不止一条。这些路径的长度也可能不同。完成不同路径的活动所需的时间虽然不同，但只有各条路径上所有活动都完成了，整个工程才算完成。

因此，完成整个工程所需的时间取决于从源点到汇点的最长路径长度，即在这条路径上所有活动的持续时间之和。这条路径长度最长的路径就叫做关键路径(Critical
Path)。
要找出关键路径，必须找出关键活动，即不按期完成就会影响整个工程完成的活动。关键路径上的所有活动都是关键活动。因此，只要找到了关键活动，就可以找到关键路径


三：关键路径具体算法如下：



 







算法的实现要点:

显然，求ve的顺序应该是按拓扑有序的次序；

 

而求vl的顺序应该是拓扑有序序列的逆序列即拓扑逆序的次序；


因此，应该在拓扑排序的过程中，另设一个“栈”记下拓扑有序序列。

      在拓扑排序求Ve[i]和逆拓扑有序求Vl[i]时,
所需时间为 
O(n+e), 
求各个活动的e[k]和l[k]时所需时间为O(e),
总共花费时间仍然是O(n+e)。