概率论复习 – 基础概率分布

概率论复习 – 基础概率分布

发现对概率论的基本概念理解不是很深入，导致看后面的东西时常有些莫名其妙的疑惑，回头来看看概率论与统计

1. 累积分布函数（CDF – Cumulative distribution function 或直接就叫 distribution function）

CDF其定义为

FX(x)=P(X≤x)

正如统计学完全教程里说的，这个CDF函数是很有迷惑性的，有必要仔细理解它。我以前每次看这个表达式都是一闪而过，没有好好理解，而它的真正的意义应该是表示随机变量小于或等于其某一个取值x的概率。设一个例子，抛一枚均匀的硬币两次，设随机变量X表示出现正面的次数，那么P(X=0)=P(X=2)=1/4，P(X=1)=1/2，所以这个函数的曲线如下图：



对于这个图，要想清楚清楚如下两个问题：

1）为什么函数始终是右连续的？ 因为根据CDF的表达式中的小于等于号，当X=x时，P(X=x)的那部分应该被加到FX上，因此在X=x处有一个值的跃升。如X=1时，P(X=1)已经是1/2了

2）为什么FX(1.4)=0.75？ 要注意P(1≤X<2)=1/2（虽然其实X只能取整数值），但是FX是值x之前所有概率的累加，所以FX(1.4)可不是1/2，而是3/4 !!

因此F函数始终是非降的，右连续的，且limx→∞F(x)=1

2. 概率密度函数（PDF – Probability density function）

对于离散随机变量的PDF为：

fX(x)=P(X=x)

对于连续随机变量，若存在一个函数fX对所有x均满足fX(x)≥0，∫bafX(x)dx=1，并且有

P(a<X<b)=∫bafX(x)dx

则fX就是FX(x)的PDF，并且FX(x)=∫x−∞fX(t)dt， fX(x)=ddxFX(x)

表面看起来这个定义简单，但是要深入理解这些式子的含义，这个定义对后面整个机器学习的内容都是最基础最重要的。

其实后面所谓的 density estimation（EM algorithm和Sampling Methods）都是要估计出一个PDF来。

最简单的PDF就是比如翻硬币的例子，假如翻正面概率0.4，反面0.6，则这个模型的PDF就是{0.4, 0.6}

稍微复杂点的PDF就是univariate Gaussian啦，其实也不复杂，高中就见过

3. 伯努利、二项分布、多项分布

伯努利分布就是对单次抛硬币的建模，X~Bernoulli(p)的PDF为f(x)=px(1−p)1−x，随机变量X只能取{0, 1}。对于所有的pdf，都要归一化！而这里对于伯努利分布，已经天然归一化了，因此归一化参数就是1。

很多次抛硬币的建模就是二项分布了。注意二项分布有两个参数，n和p，要考虑抛的次数。

二项分布的取值X一般是出现正面的次数，其PDF为：

f(x)=P(X=x)=P(X=x|n,p)=Cxnpx(1−p)n−x

Cxn就是二项分布pdf的归一化参数。如果是beta分布，把Cxn换成beta函数分之一即可，这样可以从整数情况推广为实数情况。所以beta分布是二项分布的实数推广！

多项分布则更进一层，抛硬币时X只能有两种取值，当X有多种取值时，就应该用多项分布建模。

这时参数p变成了一个向量p⃗ =(p1,…,pk)表示每一个取值被选中的概率，那么X~Multinomial(n,p)的PDF为：

f(x)=P(x1, …, xk|n,p⃗ )=(nx1, …, xk)px11…pxkk=n!∏ki=1xi!∏pxix