第一部分 数理逻辑 第三章 命题逻辑的推理理论

Chapter Three - 命题逻辑的推理理论

1 - 要点
推理
证明
推理的形式结构的符号化形式：A₁∧A₂∧…∧Ak→B（*）如果（*）是重言式，则称推理是有效的，或称推理是正确的；如果（*）不是重言式，则称推理是无效的，或称推理是错误的；如果推理是正确地，记（*）为如下形式：A₁∧A₂∧…∧Ak⇒B（**）
判断推理是否争取的方法：
（1）真值表法
（2）等值演算法
（3）主析取范式法
推理定律（重言蕴涵式）
9条重要的推理定理：
（1）附加律A⇒（A∨B）
（2）化简律（A∧B）⇒A
（3）假言推理（A→B）∧A⇒B
（4）拒取式（A→B）∧¬B⇒¬A
（5）析取三段论（A∨B）∧¬B⇒A
（6）假言三段论（A→B）∧（B→C）⇒（A→C）
（7）等价三段论（A↔B）∧（B↔C）⇒（A↔C）
（8）构造性二难（A→B）∧（C→D）∧（A∨C）⇒（B∨D）
（9）破坏性二难（A→B）∧（C→D）∧（¬B∨¬D）⇒（¬A∨¬C）
自然推理系统P：由字母表、合式公式、推理规则构成
常用的推理规则由以下12条组成：
（1）前提引入规则：
（2）结论引入规则
（3）置换规则
（4）假言推理规则：
A→B
A
------
∴B
（5）附加规则

A
------
∴A∨B
（6）化简规则
A∧B
------
∴A
（7）拒取式规则
A→B
¬B
------
∴¬A
（8）假言三段论规则
A→B
B→C
------
∴A→C
（9）析取三段论规则
A∨B
¬B
------
∴¬A
（10）构造性二难规则
A→B
C→D
A∨C
------
∴B∨D
（11）破坏性二难规则
A→B
C→D
¬B∨¬D
------
∴¬A∨¬C
（12）合取引入规则
A
B
------
∴A∧C
在自然推理系统P中构造证明：
（1）推理形式结构*改写成如下形式：
前提：A₁，A₂，…，Ak
结论：B
（2）构造证明的方法：
直接证明法：由前提A₁，A₂，…，Ak出发，应用推理规则推出B
附加前提证明法：当结论为C→B形式时，可以将C列入前提中，然后用直接证明法推出B。
这里称C为附加前提
归谬证明法：将结论B的否定式¬B列入前提中，然后用直接证明法推出矛盾式