矩阵的坐标变换(转)

1、基本二维变换

基本二维变换有比例变换（Scaling）、旋转变换（Rotating）、错切变换（Shearing）和平移变换（Translating）。

1）比例变换

比例变换就是将平面上任意一点的横坐标放大或缩小S11倍，纵坐标放大或缩小S22倍，即 ：



其中S称为比例变换矩阵。图2．24是比例变换的几个例子。图中（b）是S11=S22的情况，（C）是S11≠S21的情况：



2）旋转变换

旋转变换就是将平面上任意一点绕原点旋转θ角，一般规定逆时针方向为正，顺时针方向为负。从图2．25可推出变换公式：



3）错切变换

在旋转变换矩阵中，非对角线元素有何几何意义？观察图2．26中的例子。变换矩阵中元素S21起作把图形沿X方向“错切”的作用，Y值越小，错切量越小。S12则有将图形向Y方向“错切”的作用，同样其作用的大小与X值成正比。



4）平移变换

平移交换指的是将平面上任意一点沿X方向移动C。，沿Y方向移动ty（图2．27），其变换公式为 ：



由上式可见，平移交换不能直接用2X2矩阵来表示。下述齐次坐标变换矩阵则可解决这个问题。

注意:这句话关键(疑问点在于为什么二位转换需要3x3的矩阵)
2、
齐次坐标

如把平面上的点P=[Xy］放到空间去表示为[X Y H]，使得x＝ X/H， y＝Y/H 则称［X Y H」是点 P的齐次坐标。如规定齐次坐标的第三个分量H必须是 1，则称为规范齐次坐标。P=[xy」的规范齐次坐标是[x y 1]。显然，二维空间中描述的点与齐次坐标空间描述的点是一对多的关系。使用齐次坐标之后，平移交换可用矩阵乘法表示如下:



3、 复合变换



实际问题中常遇到的是较为复杂的变换，但这些均可通过一系列的基本变换复合而成。下面举例说明。

例1 绕任意点C=［Cx Cy］的旋转变换。图2.28总的变换可通过三个基本变换复合而成。先进行平移交换，平移量为-Cx和-Cy，然后绕原点旋转θ角，最后再进行平移量为Cx和Cy的平移变换。因此，任一点P经过逐次变换后的齐次坐标为：





变换矩阵称为复合变换矩阵。

例 2相对于任意点 C=［Cx Cy］的比例变换



与例1其复合变换阵三个变换复合而成。即为



由上述计算过程知，一个简单比例变换需要有三个计算步骤。对第一次平移，可看成是将变换物移动到坐标系的原点，第二次平移则可看成将变换物移回原位。

例3 相对于直线 ax+by+c=0 进行对称变换



此例可由五个基本变换复合而成，复合变换矩阵可按下式进行计算