hdu-3037（lucas定理求大组合数取模）

下面简单介绍一下Lucas定理：

Lucas定理是用来求 C(n,m) mod p的值,p是素数（从n取m组合，模上p）。

描述为:

A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a
a[n-1]...a[0]，B=b
b[n-1]...b[0]。

则组合数C(A,B)与C(a
,b
)*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0]) modp同余

即：Lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)

Lucas(x,0,p)=1;

简单的理解就是：

以求解n! % p 为例，把n分段，每p个一段，每一段求得结果是一样的。但是需要单独处理每一段的末尾p,2p,...,把p提取出来，会发现剩下的数正好又是(n/p)! ，相当于

划归了一个子问题，这样递归求解即可。

这个是单独处理n！的情况，当然C(n,m)就是n！/(m! *（ｎ－ｍ）！），每一个阶乘都用上面的方法处理的话，就是Lucas定理了

Lucas最大的数据处理能力是p在10^5左右。

而C(a,b) =a! / ( b! * (a-b)! ) mod p

其实就是求 ( a! / (a-b)!) * ( b! )^(p-2) mod p

(上面这一步变换是根据费马小定理：假如p是质数，且a,p互质，那么a的（p-1）次方除以p的余数恒为1,

那么a和a^(p-2)互为乘法逆元，则（b / a) = (b * a^(p-2) ) mod p)

用下面的Lucas定理程序实现就能得出结果，实现过程中要注意乘法时的强制转换

题意：将不大于m颗种子存放在n颗树中，问有多少种存法。

首先是不大于m颗种子，我没可以认为少于m的那些种子存放在了第n+1颗树上，这样的话，问题就转化成了将m颗种子存放在n+1颗树上的方案数。ok这个是组合数学里面的公式，亦即插板法，也就是X1+X2+X3+……+Xn+1 = m;ok，答案是C(n+m,m);

然后就是上面说的Lucas定理解决大组合数问题了

#include <iostream>
typedef long long int lld;
using namespace std;
lld pow(lld n,lld m,lld p)//n的m次幂%p
{
    lld res=1;
    while(m)
    {
        if(1&m) res=res*n%p;
        n=n*n%p;
        m>>=1;
    }
    return res;
}
lld C(lld n,lld m,lld p)//利用费马小定理求C(n,m)%p
{
    lld a=1;
    lld b=1;
    if(m>n) return 0;
    while(m)
    {
        a=a*n%p;
        b=b*m%p;
        m--;
        n--;
    }
    return a*pow(b,p-2,p)%p;
}
lld Lucas(lld n,lld m,lld p)//
{
    if(m==0) return 1;
    return (C(n%p,m%p,p)* Lucas(n/p,m/p,p))%p;
}
int main()
{
    lld t,m,n,p;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m>>p;
        cout<<Lucas(n+m,m,p)<<endl;
    }
    return 0;
}