连通分量模板：tarjan: 求割点 && 桥 && 缩点 && 强连通分量 && 双连通分量 && LCA(最近公共祖先)

PS:摘自一不知名的来自大神。

1.割点：若删掉某点后，原连通图分裂为多个子图，则称该点为割点。

2.割点集合：在一个无向连通图中，如果有一个顶点集合，删除这个顶点集合，以及这个集合中所有顶点相关联的边以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割点集合。

3.点连通度：最小割点集合中的顶点数。
4.割边(桥)：删掉它之后，图必然会分裂为两个或两个以上的子图。

5.割边集合：如果有一个边集合，删除这个边集合以后，原图变成多个连通块，就称这个点集为割边集合。

6.边连通度：一个图的边连通度的定义为，最小割边集合中的边数。

7.缩点：把没有割边的连通子图缩为一个点，此时满足任意两点之间都有两条路径可达。

注：求块<>求缩点。缩点后变成一棵k个点k-1条割边连接成的树。而割点可以存在于多个块中。

8.双连通分量：分为点双连通和边双连通。它的标准定义为：点连通度大于1的图称为点双连通图，边连通度大于1的图称为边双连通图。通俗地讲，满足任意两点之间，能通过两条或两条以上没有任何重复边的路到达的图称为双连通图。无向图G的极大双连通子图称为双连通分量。

Tarjan算法的应用论述：



1.求强连通分量、割点、桥、缩点：

对于Tarjan算法中，我们得到了dfn和low两个数组，

low[u]:=min(low[u],dfn[v])——(u,v)为后向边，v不是u的子树；

low[u]:=min(low[u],low[v])——(u,v)为树枝边，v为u的子树；

下边对其进行讨论：

若low[v]>=dfn[u],则u为割点，节点v的子孙和节点u形成一个块。因为这说明v的子孙不能够通过其他边到达u的祖先，这样去掉u之后，图必然分裂为两个子图。这样我们处理点u时，首先递归u的子节点v，然后从v回溯至u后，如果发现上述不等式成立，则找到了一个割点u，并且u和v的子树构成一个块。

void tarjan(int x)
{
v[x]=1,dfn[x]=low[x]=++num;
for(int i=head[x];i;i=next[i])
if(!v[ver[i]])
{
tarjan(ver[i]);
low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);
if(dfn[x]<=low[ver[i]]) v[x]++;
}
else low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]);
if((x==1&&v[x]>2)||(x>1&&v[x]>1)) v[x]=2; else v[x]=1;//v[x]=2表示该点为割点，注意其中第一个点要特判
}

若low[v]>dfn[u],则(u,v)为割边。但是实际处理时我们并不这样判断，因为有的图上可能有重边，这样不好处理。我们记录每条边的标号（一条无向边拆成的两条有向边标号相同），记录每个点的父亲到它的边的标号，如果边(u,v)是v的父亲边，就不能用dfn[u]更新low[v]。这样如果遍历完v的所有子节点后，发现low[v]=dfn[v]，说明u的父亲边(u,v)为割边。

void tarjan(int x)
{
vis[x]=1;
dfn[x]=low[x]=++num;
for(int i=head[x];i;i=next[i])
if(!vis[ver[i]])
{
p[ver[i]]=edge[i];//记录父亲边
tarjan(ver[i]);
low[x]=min(low[x],low[ver[i]]);
}
else if(p[x]!=edge[i])//不是父亲边才更新
low[x]=min(low[x],dfn[ver[i]]);
if(p[x]&&low[x]==dfn[x]) f[p[x]]=1;//是割边
}

2.求双连通分量以及构造双连通分量：

对于点双连通分支，实际上在求割点的过程中就能顺便把每个点双连通分支求出。建立一个栈，存储当前双连通分支，在搜索图时，每找到一条树枝边或后向边(非横叉边)，就把这条边加入栈中。如果遇到某时满足DFS(u)<=Low(v)，说明u是一个割点，同时把边从栈顶一个个取出，直到遇到了边(u,v)，取出的这些边与其关联的点，组成一个点双连通分支。割点可以属于多个点双连通分支，其余点和每条边只属于且属于一个点双连通分支。

对于边双连通分支，求法更为简单。只需在求出所有的桥以后，把桥边删除，原图变成了多个连通块，则每个连通块就是一个边双连通分支。桥不属于任何一个边双连通分支，其余的边和每个顶点都属于且只属于一个边双连通分支。

一个有桥的连通图，如何把它通过加边变成边双连通图？方法为首先求出所有的桥，然后删除这些桥边，剩下的每个连通块都是一个双连通子图。把每个双连通子图收缩为一个顶点，再把桥边加回来，最后的这个图一定是一棵树，边连通度为1。

统计出树中度为1的节点的个数，即为叶节点的个数，记为leaf。则至少在树上添加(leaf+1)/2条边，就能使树达到边二连通，所以至少添加的边数就是(leaf+1)/2。具体方法为，首先把两个最近公共祖先最远的两个叶节点之间连接一条边，这样可以把这两个点到祖先的路径上所有点收缩到一起，因为一个形成的环一定是双连通的。然后再找两个最近公共祖先最远的两个叶节点，这样一对一对找完，恰好是(leaf+1)/2次，把所有点收缩到了一起。

3.求最近公共祖先（LCA）

在遍历到u时，先tarjan遍历完u的子树，则u和u的子树中的节点的最近公共祖先就是u,并且u和【u的兄弟节点及其子树】的最近公共祖先就是u的父亲。注意到由于我们是按照DFS顺序遍历的，我们可用一个color数组标记，正在访问的染色为1，未访问的标记为0，已经访问到即在【u的子树中的】及【u的已访问的兄弟节点及其子树中的】染色标记为2，这样我们可以通过并查集的不断合并更新，通过find实现以上目标。

注：用链表存储边和问题，可以使得该算法的时间复杂度降低为O(n+m+q)，其中n、m、q分别为点、边、问题数目。本文中为了书写简便，采用的是矩阵的存储方式。

function find(x:longint):longint;
begin
if f[x]<>x then f[x]:=find(f[x]);
find:=f[x];
end;
procedure tarjan(u:longint);
begin
f[u]:=u; color[u]:=1;
for i:=1 to n do
if (g[u,i])and(color[i]=0) then//g[u,i]表示u连着i
begin
tarjan(i); f[i]:=u;
end;
for i:=1 to n do
if ((ask[u,i])or(ask[i,u]))and(color[i]=2) then//ask[u,i]表示询问了u,i
begin
lca[u,i]:=find(i); lca[i,u]:=lca[u,i];
end;
color[u]:=2;
end;

下面是鹏哥的模板：链接

点双连通分量：

在无向连通图中，如果删除该图的任何一个结点都不能改变该图的连通性，则该图为双连通的无向图。一个连通的无向图是双连通的，当且仅当它没有关键点.

强连通分量：

在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi<>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。非强连通图有向图的极大强连通子图，称为强连通分量。

tarjan算法：

tarjan(u)
{
DFN[u]=Low[u]=++Index                      // 为节点u设定次序编号和Low初值
Stack.push(u)                              // 将节点u压入栈中
for each (u, v) in E                       // 枚举每一条边
if (v is not visted)               // 如果节点v未被访问过
tarjan(v)                  // 继续向下找
Low[u] = min(Low[u], Low[v])
else if (v in S)                   // 如果节点v还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u])                      // 如果节点u是强连通分量的根
repeat
v = S.pop                  // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}

tarjan算法的本质：

对所有的节点进行dfs，并且在遍历的时候记录搜到这个点的时间，用dfn存储。当y搜索到的某个节点x之前搜索到了，那么

说明从节点x到节点y这一段路程组成一个强连通分量。具体代码实现就是每搜过一个点就把这个点放进栈里，low数组记录这个节

点以及这个节点所在的连通分量中的最小dfn，当low[x]=dfn[x]的时候，说明已经形成了一个连通分量，那么把栈里的节点出栈到x。

tarjan无向图求点双联通：

void tarjan(int x)
{
int i;
low[x]=dnf[x]=times++;
for(i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)
{
if(vis[i])continue;
vis[i]=vis[i^1]=1;
int y=edge[i].e;
if(!dnf[y])
{
st.push(i);
tarjan(y);
low[x]=min(low[x],low[y]);
if(low[y]>=dnf[x])//这个时候，栈里的点构成一个双连通分量
{
while(1)
{
yw=st.top();
st.pop();
if(edge[yw].u==x)break;
}
}
}
else if(dnf[y]<dnf[x])
{
st.push(i);
low[x]=min(low[x],dnf[y]);
}
}
}

tarjan有向图求强联通分量：

void tarjan(int x)
{
dnf[x]=low[x]=times++;
instack[x]=1;
qq.push(x);
for(int i=head[x];i!=-1;i=edge[i].next)
{
int y=edge[i].v;
if(!dnf[y])
{
tarjan(y);
low[x]=min(low[x],low[y]);
}
else if(instack[y])
{
low[x]=min(low[x],dnf[y]);
}
}
if(low[x]==dnf[x])
{
int y=-1;
while(x!=y)
{
y=qq.top();
qq.pop();
instack[y]=0;
}
nums++;
}
}

tarjan算法求完缩点之后，对于有向图：

如果入度为0的点的个数为a，出度为0的点的个数为b；

那么：最少需要加max(a,b)条边使得原图变成强联通图。