最大公约数gcd算法及其扩展

gcd（greatest common divisor）

欧几里得算法：

模板如下：

int gcd(int a,int b)
{
if(!b)return a;
return gcd(b,a%b);
}

简单写下证明：

求证gcd（a,b）=gcd(b,a%b)

令a=k*b+mod；x=gcd(a,b),y=gcd(b,a%b)=gcd(b,mod);

x是a，b的最大公约数，显然可以整除a，b，由于mod=a-k*b，x可以整除mod。

x是b,mod公约数。

y是b，mod的最大公约数，显然可以整除b，mod，进而可以整除a。

y是a，b公约数。

x整除y，y整除x，所以x=y。

复杂度为o（logmax（a,b））;

看到一篇文章，有助于更为直观的理解gcd

“ 在《几何原本》第七卷的命题 2当中， Euclid给出了一种求最大公度单位的通用算法，这就是后来所说的
Euclid算法。这种方法其实非常直观。假如我们要求线段 a和线段 b的最大公度单位，不妨假设
a比 b更长。如果 b正好能度量 a，那么考虑到
b当然也能度量它自身，因而 b就是 a和 b的一个公度单位；如果
b不能度量 a，这说明 a的长度等于 b的某个整倍数，再加上一个零头。我们不妨把这个零头的长度记作
c。如果有某条线段能够同时度量 b和 c
，那么它显然也就能度量 a。也就是说，为了找到 a和 b的公度单位，我们只需要去寻找
b和 c的公度单位即可。怎样找呢？我们故技重施，看看 c是否能正好度量 b。如果
c 正好能度量 b，c就是 b和
c的公度单位，从而也就是 a和 b的公度单位；如果 c不能度量
b，那看一看 b被 c度量之后剩余的零头，把它记作 d，然后继续用
d度量 c
，并不断这样继续下去，直到某一步没有零头了为止。”————《跨越千年的RSA算法》

PS：这篇文章写得很好，推荐大家去读^O^~
http://www.matrix67.com/blog/archives/5100
扩展欧几里得（解同模方程）

=============================== _(:з」∠)_==============我是模板========================

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(!b)
{
x=1;y=0;
return ;
}
exgcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x;
}

============================== _(:з」∠)_==============模板债见========================

主要就两个式子（递归思想）

Ax1+By1=gcd(a,b);

Bx2+A%By2=gcd(b,a%b);=>一直递归到a%b=0；x=1，y=0；

stein算法

补充gcd的性质

a，b均为偶数时，gcd(a,b)=gcd(a>>1,b>>1)<<1;

a为奇数，b为偶数时，gcd(a,b)=gcd(a,b>>1);

a为偶数，b为奇数时，gcd(a,b)=gcd(a>>1,b);

a，b均为奇数时，gcd(a,b)=(abs(a-b),min(a,b));

=============================== _(:з」∠)_============我是模板=========================

int sgcd(int a,int b)
{
if(!a)return b;
if(!b)return a;
if(!(a&1)&&!(b&1))
return sgcd(a>>1,b>>1)<<1;
if(!(a&1))
return sgcd(a>>1,b);
if(!(b&1))
return sgcd(a,b>>1);
return sgcd(abs(a-b),min(a,b));
}

=============================== _(:з」∠)_==============模板债见========================