求两个整数的最小公倍数和最大公约数的算法及其C++实现

今天碰到一道C++练习题“求两个整数的最小公倍数和最大公约数的算法及其C++实现”，感觉可以做个整理笔记。

最大公约数

最大公约数（英语：Greatest Common Divisor，简写为G.C.D.；或Highest Common Factor，简写为H.C.F.），指某几个整数共有约数中最大的一个。

求两个整数最大公约数主要的方法：

列举法：各自列出约数，再找出最大的公约数

素因数分解法：两数各作素因数分解，然后取出共有的项相乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。

短除法：短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。

辗转相除法：辗转相除法是求两个自然数的最大公约数的一种方法，也叫欧几里德算法。

例如，求（319，377）：

∵ 319÷377=0（余319）

∴（319，377）=（377，319）；

∵ 377÷319=1（余58）

∴（377，319）=（319，58）；

∵ 319÷58=5（余29），

∴ （319，58）=（58，29）；

∵ 58÷29=2（余0），

∴ （58，29）= 29；

∴ （319，377）=29.

扩展欧几里德算法：扩展欧几里得算法（又称扩充欧几里得算法）是用来解某一类特定的不定方程的一种方法，常用用来求解模线性方程及方程组。扩展的欧几里得算法可以用来计算模逆元，而模逆元在公钥密码学中占有举足轻重的地位。

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，ab≠0 时

设 ax1+by1=gcd(a,b);

bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

则：ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

即：ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

更相减损法：也叫更相减损术，是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，它原本是为约分而设计的，但它适用于任何需要求最大公约数的场合。

第一步：任意给定两个正整数；判断它们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。

第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止。

则第一步中约掉的若干个2与第二步中等数的乘积就是所求的最大公约数。

其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法。所以更相减损法也叫等值算法。

例1、用更相减损术求98与63的最大公约数。

解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减：

98-63=35

63-35=28

35-28=7

28-7=21

21-7=14

14-7=7

所以，98和63的最大公约数等于7。

这个过程可以简单的写为：

（98，63）=（35，63）=（35，28）=（7，28）=（7，21）=（7，14）=（7，7）=7.

例2、用更相减损术求260和104的最大公约数。

解：由于260和104均为偶数，首先用2约简得到130和52，再用2约简得到65和26。

此时65是奇数而26不是奇数，故把65和26辗转相减：

65-26=39

39-26=13

26-13=13

所以，260与104的最大公约数等于13乘以第一步中约掉的两个2，即13*2*2=52。

这个过程可以简单地写为：

（260,104）(/2/2) =>（65,26）=（39,26）=（13,26）=（13,13）=13. (*2*2) => 52

Stein算法：Stein算法由J. Stein 1961年提出，这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法算法不同的是，Stein算法只有整数的移位和加减法，这对于程序设计者是一个福音。

设置A1=A、B1=B和C1=1

1、如果An=0，Bn*Cn是最大公约数，算法结束

2、如果Bn=0，An*Cn是最大公约数，算法结束

3、如果An和Bn都是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn*2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)

4、如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)

5、如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)

6、如果An和Bn都不是偶数，则An+1=|An-Bn|，Bn+1=min(An,Bn)，Cn+1=Cn

7、n加1，转步骤1

考虑欧几里德算法，最恶劣的情况是，每次迭代a=2b-1,这样，迭代后，r=b-1。如果a小于2N，这样大约需要4N次迭代。而考虑Stein算法，每次迭代后，显然A(n+1)B(n+1)≤AnBn/2，最大迭代次数也不超过4N次。也就是说，迭代次数几乎是相等的。但是，需要注意的是，对于大素数，试商法将使每次迭代都更复杂，因此对于大素数Stein将更有优势。

（以上内容整理自维基百科，百度百科）

C++实现

辗转相除法：

#include<iostream>
int main()
{
int a,b,c;
scanf("%d %d",&a,&b);
if(a!=0&&b!=0)   //先判断输入整数中有无零值，有零值的话无法求公约数返回error；
{
do{
c=a%b;
a=b;
b=c;
}while(c);
}
else
printf("error\n");
printf("%d\n",a);
return 0;
}

更相减损法：

#include<iostream>
#include<cmath>
int main()
{
int a,b,n=0;
scanf("%d %d",&a,&b);
if(a!=0&&b!=0)   //先判断输入整数中有无零值，有零值的话无法求公约数返回error；
{
while(a%2==0&&b%2==0)
{
a/=2;
b/=2;
n++;
}
while(a!=b)
{
(a>b)?a-=b:b-=a;
}
a=a*pow(2,n);
printf("%d\n",a);
}
else
printf("error\n");
return 0;
}

Stein算法：

#include<iostream>
int gcd(int n,int m)      //适用于计算很大的数的最大公约数；
{
if(n==m)
return n;
else if(n==0)      //不明白这个算法为什么有零值还能求公约数，后头再查查
return m;
else if(m==0)
return n;
else if(m>n)
return gcd(m,n);
if(n%2==0)
{
if(m%2==0)
return gcd(n>>1,m>>1)<<1;
else
return gcd(n>>1,m);
}
else
{
if(m%2==0)
return gcd(n,m>>1);
else
return gcd((n-m)>>1,m);
}
}
int main()
{
int a,b;
scanf("%d %d",&a,&b);
printf("%d\n",gcd(a,b));
return 0;
}

最小公倍数

最小公倍数是数论中的一个概念。若有一个数X，可以被另外两个数A、B整除，且X大于（或等于）A和B，则X为A和B的公倍数。A和B的公倍数有无限个，而所有的公倍数中，最小的公倍数就叫做最小公倍数。两个整数公有的倍数称为它们的公倍数，其中最小的一个正整数称为它们两个的最小公倍数。同样地，若干个整数公有的倍数中最小的正整数称为它们的最小公倍数。n整数 a1,a2,…,an的最小公倍数一般记作: [a1,a2,…,an]，或者参照英文记法记作 lcm(a1,a2,…,an)，其中lcm是英语中“最小公倍数”一词（lowest common multiple）的首字母缩写。

例如，十天干和十二地支的混合称为一个阴历年，干支循环回归同一名称的所需时间，就是12和10的最小公倍数，即是60──一个“甲子”。

（摘自维基百科）

C++算法实现

根据最大公约数来求最小公倍数，以辗转相除法为例：

#include<iostream>
int main()
{
int a,b,c,n,m;
scanf("%d %d",&n,&m);
if(n!=0&&m!=0)   //先判断输入整数中有无零值，有零值的话无法求公约数返回error；
{
a=n;
b=m;
do{
c=a%b;
a=b;
b=c;
}while(c);
}
else
printf("error\n");
printf("%d\n",n*m/a);
return 0;
}