[NOIP2007] 矩阵取数游戏

【问题描述】

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的n*m的矩阵，矩阵中的每个元素aij，均

为非负整数。游戏规则如下：

1．每次取数时须从每行各取走一个元素，共n个。m次后取完矩阵所有元素；

2．每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；

3． 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分=被取走的元素值*2^i，其中i表示第i次取数(从1开始编号)；

4． 游戏结束总得分为m次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

【输入格式】

输入文件game.in包括n+1行：

第1行为两个用空格隔开的整数n和m。

第2-n+l行为n*m矩阵，其中每行有m个用单个空格隔开的非负整数。

【输出格式】

输出文件game.out仅包含1行，为一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。

【输入输出样例1】

输入：

2 3

1 2 3

3 4 2

输出：

82

【输入输出样例l解释】

第1次：第1行取行首元素，第2行取行尾元素，本次得分为1*21+2*21=6

第2次：两行均取行首元素，本次得分为2*22+3*22=20

第3次：得分为3*2^3+4*2^3=56。总得分为6+20+56=82

【输入输出样例2】

输入：

1 4

4 5 0 5

输出：

122

【输入输出样例3】

输入：

2 10

96 56 54 46 86 12 23 88 80 43

16 95 18 29 30 53 88 83 64 67

输出：

316994

【限制】

60％的数据满足：1<=n，m<=30，答案不超过10^16

100％的数据满足：l<=n，m<=80，0<=aij<=1000

【分析】这道题的最优子结构性质&子问题重叠都非常明显，很容易写出区间动规的状态转移方程：FL,i,j = max{(FL,i-1,j + 2x*aL,i-1), (FL,i,j+1+2x*aL,j+1)}

证明比较简单，这里不作为讨论重点。。。 再来看数据范围：m最大可达80，ai,j最大可达1000，明显超过了int64的范围（听Pascal党说还有 int128这种数据类型？），我们c++没办法，只好高精度压位。。考虑到“乘法”中只有“高精度*int”这里可以把乘法无耻地改成倍增→_→排除了 乘法，压位的时候不妨多压几位节约资源（实测结果：压8位高精耗时314ms）

1 #include <cstdio>
2 #define MOD 100000000
3 using namespace std;
4 int M[81][81]={0}, n, m;
5 struct big
6 {
7 int num[5], len;
8 big() { len = 1;num[0]=0; }
9 big(int k) {
len = 1, num[0]=k % MOD, k/=MOD;
while(k)
num[len++] = k % MOD, k /= MOD;
}
big& operator+=(const big& b) {
int m=0,i;
for(i=0;i<len || i<b.len || m;++i) {
if(i<len) m += num[i];
if(i<b.len) m += b.num[i];
num[i] = m % MOD;
m /= MOD;
}
if(i > len)len = i;
return *this;
}
big operator +(const big& b) {
big ans = *this;ans += b;
return ans;
}
big operator *(int b)const {
big ans = 0,k = *this;
while(b) {
if(b&1)ans += k;
k += k;
b >>= 1;
}
return ans;
}
bool operator >(const big& b)const {
if(len!=b.len)return len > b.len;
int i = len;
while(--i>=0)
if(num[i]!=b.num[i])return num[i] > b.num[i];
return 0;
}
}s[81][81];
int main()
{
int i,j,t;
scanf("%d%d",&n,&m);
big Ans, po2[81]={1};
for(i=1;i<=m;++i)
po2[i] = po2[i-1]*2;
for(i=0;i<n;++i)
for(j=0;j<m;++j)
scanf("%d",M[i]+j);
for(t=0;t<n;++t) {
big temp,ans;
s[0][m] = 0;
for(j = m-1;j>=0;--j)
s[0][j] = s[0][j+1] + po2[m-j] * M[t][j];
ans = s[0][0];
for(i = 1;i <= m;++i)
s[i][m] = s[i-1][m] + po2[i] * M[t][i-1];
if(s[m][m] > ans)ans = s[m][m];
for(i = 1;i < m;++i) {
for(j = m-1;j>=i;--j) {
if(s[i-1][j]+po2[m+i-j]*M[t][i-1] > s[i][j+1]+po2[m+i-j]*M[t][j])
s[i][j] = s[i-1][j]+po2[m+i-j]*M[t][i-1];
else s[i][j] = s[i][j+1]+po2[m+i-j]*M[t][j];
}
if(s[i][i] > ans)ans = s[i][i];
}
Ans += ans;
}
i = Ans.len;
printf("%d",Ans.num[--i]);
while(i)
printf("%08d",Ans.num[--i]);
return 0;
}动态规划 + 高精度