硬币组合问题-动态规划

如果我们有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？ (表面上这道题可以用贪心算法，但贪心算法无法保证可以求出解，比如1元换成2元的时候)

首先我们思考一个问题，如何用最少的硬币凑够i元(i<11)？

当i=0，即我们需要多少个硬币来凑够0元。 由于1，3，5都大于0，即没有比0小的币值，因此凑够0元我们最少需要0个硬币。

那么， 我们用d(i)=j来表示凑够i元最少需要j个硬币。

当i=1时，只有面值为1元的硬币可用， 因此我们拿起一个面值为1的硬币，接下来只需要凑够0元即可。所以，d(1)=d(1-1)+1=d(0)+1=0+1=1。

当i=2时， 仍然只有面值为1的硬币可用，于是我拿起一个面值为1的硬币， 接下来我只需要再凑够2-1=1元即可，所以d(2)=d(2-1)+1=d(1)+1=1+1=2。

当i=3时，我们能用的硬币就有两种了：1元的和3元的。 有两种方案，如果我拿了一个1元的硬币，我的目标就变为了： 凑够3-1=2元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-1)+1=d(2)+1=2+1=3。 这个方案说的是，我拿3个1元的硬币；第二种方案是我拿起一个3元的硬币， 我的目标就变成：凑够3-3=0元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-3)+1=d(0)+1=0+1=1. 这个方案说的是，我拿1个3元的硬币。好了，这两种方案哪种更优呢？
记得我们可是要用最少的硬币数量来凑够3元的。所以， 选择d(3)=1，怎么来的呢？具体是这样得到的：d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}。

状态转移方程：

d(i)=min{ d(i-vj)+1 }，其中i-vj >=0，vj表示第j个硬币的面值;

代码实现：

#include <iostream>
#include <vector>
#include <climits>
using namespace std;

int money(vector<int> &vi,int s)
{
	int n=vi.size();
	vector<int> mi(s+1,0);
	for(int i=1;i<=s;++i)
		mi[i]=INT_MAX;
	for(int i=1;i<=s;++i)
	{
		for (int j=0;j<n;++j)
		{
			if(vi[j]<=i && mi[i-vi[j]]+1<mi[i])
				mi[i]=mi[i-vi[j]]+1;
		}
	}
	return mi[s];
}
int main(){
	int n=11;
	//cin >> n;
	vector<int> v;
	v.push_back(1);
	v.push_back(3);
	v.push_back(5);
	cout << money(v,n);
	return 0;
}