二叉堆(一)之 图文解析 和 C语言的实现

出自：/article/4708194.html

二叉堆(一)之 图文解析 和 C语言的实现

概要

本章介绍二叉堆，二叉堆就是通常我们所说的数据结构中"堆"中的一种。和以往一样，本文会先对二叉堆的理论知识进行简单介绍，然后给出C语言的实现。后续再分别给出C++和Java版本的实现；实现的语言虽不同，但是原理如出一辙，选择其中之一进行了解即可。若文章有错误或不足的地方，请不吝指出！
目录

1. 堆和二叉堆的介绍

2. 二叉堆的图文解析

3. 二叉堆的C实现(完整源码)

4. 二叉堆的C测试程序
转载请注明出处：/article/4708194.html

更多内容：数据结构与算法系列
目录
(01) 二叉堆(一)之
图文解析 和 C语言的实现

(02) 二叉堆(二)之 C++的实现

(03) 二叉堆(三)之 Java的实

堆和二叉堆的介绍

堆的定义
堆(heap)，这里所说的堆是数据结构中的堆，而不是内存模型中的堆。堆通常是一个可以被看做一棵树，它满足下列性质：

[性质一] 堆中任意节点的值总是不大于(不小于)其子节点的值；

[性质二] 堆总是一棵完全树。

将任意节点不大于其子节点的堆叫做最小堆或小根堆，而将任意节点不小于其子节点的堆叫做最大堆或大根堆。常见的堆有二叉堆、左倾堆、斜堆、二项堆、斐波那契堆等等。

二叉堆的定义
二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树，它分为两种：最大堆和最小堆。

最大堆：父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值；最小堆：父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。示意图如下：





二叉堆一般都通过"数组"来实现。数组实现的二叉堆，父节点和子节点的位置存在一定的关系。有时候，我们将"二叉堆的第一个元素"放在数组索引0的位置，有时候放在1的位置。当然，它们的本质一样(都是二叉堆)，只是实现上稍微有一丁点区别。

假设"第一个元素"在数组中的索引为 0 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：

(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);

(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+2);

(03) 索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2);





假设"第一个元素"在数组中的索引为 1 的话，则父节点和子节点的位置关系如下：

(01) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i);

(02) 索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);

(03) 索引为i的父结点的索引是 floor(i/2);





注意：本文二叉堆的实现统统都是采用"二叉堆第一个元素在数组索引为0"的方式！

二叉堆的图文解析

在前面，我们已经了解到："最大堆"和"最小堆"是对称关系。这也意味着，了解其中之一即可。本节的图文解析是以"最大堆"来进行介绍的。
二叉堆的核心是"添加节点"和"删除节点"，理解这两个算法，二叉堆也就基本掌握了。下面对它们进行介绍。

1. 添加
假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85，需要执行的步骤如下：




如上图所示，当向最大堆中添加数据时：先将数据加入到最大堆的最后，然后尽可能把这个元素往上挪，直到挪不动为止！

将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后，最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。

最大堆的插入代码(C语言)

/*
* 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
static void maxheap_filterup(int start)
{
int c = start;            // 当前节点(current)的位置
int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置
int tmp = m_heap[c];        // 当前节点(current)的大小

while(c > 0)
{
if(m_heap[p] >= tmp)
break;
else
{
m_heap[c] = m_heap[p];
c = p;
p = (p-1)/2;
}
}
m_heap[c] = tmp;
}

/*
* 将data插入到二叉堆中
*
* 返回值：
*     0，表示成功
*    -1，表示失败
*/
int maxheap_insert(int data)
{
// 如果"堆"已满，则返回
if(m_size == m_capacity)
return -1;

m_heap[m_size] = data;        // 将"数组"插在表尾
maxheap_filterup(m_size);    // 向上调整堆
m_size++;                    // 堆的实际容量+1

return 0;
}

maxheap_insert(data)的作用：将数据data添加到最大堆中。

当堆已满的时候，添加失败；否则data添加到最大堆的末尾。然后通过上调算法重新调整数组，使之重新成为最大堆。

2. 删除
假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90，需要执行的步骤如下：



从[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]删除90之后，最大堆变成了[85,80,70,60,40,30,20,10,50]。

如上图所示，当从最大堆中删除数据时：先删除该数据，然后用最大堆中最后一个的元素插入这个空位；接着，把这个“空位”尽量往上挪，直到剩余的数据变成一个最大堆。
注意：考虑从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除60，执行的步骤不能单纯的用它的子节点来替换；而必须考虑到"替换后的树仍然要是最大堆"！





最大堆的删除代码(C语言)

/*
* 返回data在二叉堆中的索引
*
* 返回值：
*     存在 -- 返回data在数组中的索引
*     不存在 -- -1
*/
int get_index(int data)
{
int i=0;

for(i=0; i<m_size; i++)
if (data==m_heap[i])
return i;

return -1;
}

/*
* 最大堆的向下调整算法
*
* 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
*
* 参数说明：
*     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
*     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
*/
static void maxheap_filterdown(int start, int end)
{
int c = start;          // 当前(current)节点的位置
int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
int tmp = m_heap[c];    // 当前(current)节点的大小

while(l <= end)
{
// "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
if(l < end && m_heap[l] < m_heap[l+1])
l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[l+1]
if(tmp >= m_heap[l])
break;        //调整结束
else
{
m_heap[c] = m_heap[l];
c = l;
l = 2*l + 1;
}
}
m_heap[c] = tmp;
}

/*
* 删除最大堆中的data
*
* 返回值：
*      0，成功
*     -1，失败
*/
int maxheap_remove(int data)
{
int index;
// 如果"堆"已空，则返回-1
if(m_size == 0)
return -1;

// 获取data在数组中的索引
index = get_index(data);
if (index==-1)
return -1;

m_heap[index] = m_heap[--m_size];        // 用最后元素填补
maxheap_filterdown(index, m_size-1);    // 从index位置开始自上向下调整为最大堆

return 0;
}

maxheap_remove(data)的作用：从最大堆中删除数据data。

当堆已经为空的时候，删除失败；否则查处data在最大堆数组中的位置。找到之后，先用最后的元素来替换被删除元素；然后通过下调算法重新调整数组，使之重新成为最大堆。
该"示例的完整代码"以及"最小堆的相关代码"，请参考下面的二叉堆的实现。

二叉堆的C实现(完整源码)

二叉堆的实现同时包含了"最大堆"和"最小堆"，它们是对称关系；理解一个，另一个就非常容易懂了。
二叉堆(最大堆)的实现文件(max_heap.c)

1 /**
2  * 二叉堆(最大堆)
3  *
4  * @author skywang
5  * @date 2014/03/07
6  */
7
8 #include <stdio.h>
9 #include <stdlib.h>
10
11 #define LENGTH(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )
12
13 static int m_heap[30];        // 数据
14 static int m_capacity=30;    // 总的容量
15 static int m_size=0;        // 实际容量(初始化为0)
16
17 /*
18  * 返回data在二叉堆中的索引
19  *
20  * 返回值：
21  *     存在 -- 返回data在数组中的索引
22  *     不存在 -- -1
23  */
24 int get_index(int data)
25 {
26     int i=0;
27
28     for(i=0; i<m_size; i++)
29         if (data==m_heap[i])
30             return i;
31
32     return -1;
33 }
34
35 /*
36  * 最大堆的向下调整算法
37  *
38  * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
39  *
40  * 参数说明：
41  *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
42  *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
43  */
44 static void maxheap_filterdown(int start, int end)
45 {
46     int c = start;          // 当前(current)节点的位置
47     int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
48     int tmp = m_heap[c];    // 当前(current)节点的大小
49
50     while(l <= end)
51     {
52         // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
53         if(l < end && m_heap[l] < m_heap[l+1])
54             l++;        // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[l+1]
55         if(tmp >= m_heap[l])
56             break;        //调整结束
57         else
58         {
59             m_heap[c] = m_heap[l];
60             c = l;
61             l = 2*l + 1;
62         }
63     }
64     m_heap[c] = tmp;
65 }
66
67 /*
68  * 删除最大堆中的data
69  *
70  * 返回值：
71  *      0，成功
72  *     -1，失败
73  */
74 int maxheap_remove(int data)
75 {
76     int index;
77     // 如果"堆"已空，则返回-1
78     if(m_size == 0)
79         return -1;
80
81     // 获取data在数组中的索引
82     index = get_index(data);
83     if (index==-1)
84         return -1;
85
86     m_heap[index] = m_heap[--m_size];        // 用最后元素填补
87     maxheap_filterdown(index, m_size-1);    // 从index位置开始自上向下调整为最大堆
88
89     return 0;
90 }
91
92 /*
93  * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
94  *
95  * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
96  *
97  * 参数说明：
98  *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
99  */
100 static void maxheap_filterup(int start)
101 {
102     int c = start;            // 当前节点(current)的位置
103     int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置
104     int tmp = m_heap[c];        // 当前节点(current)的大小
105
106     while(c > 0)
107     {
108         if(m_heap[p] >= tmp)
109             break;
110         else
111         {
112             m_heap[c] = m_heap[p];
113             c = p;
114             p = (p-1)/2;
115         }
116     }
117     m_heap[c] = tmp;
118 }
119
120 /*
121  * 将data插入到二叉堆中
122  *
123  * 返回值：
124  *     0，表示成功
125  *    -1，表示失败
126  */
127 int maxheap_insert(int data)
128 {
129     // 如果"堆"已满，则返回
130     if(m_size == m_capacity)
131         return -1;
132
133     m_heap[m_size] = data;        // 将"数组"插在表尾
134     maxheap_filterup(m_size);    // 向上调整堆
135     m_size++;                    // 堆的实际容量+1
136
137     return 0;
138 }
139
140 /*
141  * 打印二叉堆
142  *
143  * 返回值：
144  *     0，表示成功
145  *    -1，表示失败
146  */
147 void maxheap_print()
148 {
149     int i;
150     for (i=0; i<m_size; i++)
151         printf("%d ", m_heap[i]);
152 }
153
154 void main()
155 {
156     int a[] = {10, 40, 30, 60, 90, 70, 20, 50, 80};
157     int i, len=LENGTH(a);
158
159     printf("== 依次添加: ");
160     for(i=0; i<len; i++)
161     {
162         printf("%d ", a[i]);
163         maxheap_insert(a[i]);
164     }
165
166     printf("\n== 最 大 堆: ");
167     maxheap_print();
168
169     i=85;
170     maxheap_insert(i);
171     printf("\n== 添加元素: %d", i);
172     printf("\n== 最 大 堆: ");
173     maxheap_print();
174
175     i=90;
176     maxheap_remove(i);
177     printf("\n== 删除元素: %d", i);
178     printf("\n== 最 大 堆: ");
179     maxheap_print();
180     printf("\n");
181 }

二叉堆(最小堆)的实现文件(min_heap.c)

1 /**
2  * 二叉堆(最小堆)
3  *
4  * @author skywang
5  * @date 2014/03/07
6  */
7
8 #include <stdio.h>
9 #include <stdlib.h>
10
11 #define LENGTH(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )
12
13 static int m_heap[30];
14 static int m_capacity=30;    // 总的容量
15 static int m_size=0;        // 实际容量(初始化为0)
16
17 /*
18  * 返回data在二叉堆中的索引
19  *
20  * 返回值：
21  *     存在 -- 返回data在数组中的索引
22  *     不存在 -- -1
23  */
24 int get_index(int data)
25 {
26     int i=0;
27
28     for(i=0; i<m_size; i++)
29         if (data==m_heap[i])
30             return i;
31
32     return -1;
33 }
34
35 /*
36  * 最小堆的向下调整算法
37  *
38  * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
39  *
40  * 参数说明：
41  *     start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始)
42  *     end   -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引)
43  */
44 static void minheap_filterdown(int start, int end)
45 {
46     int c = start;          // 当前(current)节点的位置
47     int l = 2*c + 1;     // 左(left)孩子的位置
48     int tmp = m_heap[c];    // 当前(current)节点的大小
49
50     while(l <= end)
51     {
52         // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子
53         if(l < end && m_heap[l] > m_heap[l+1])
54             l++;        // 左右两孩子中选择较小者，即m_heap[l+1]
55         if(tmp <= m_heap[l])
56             break;        //调整结束
57         else
58         {
59             m_heap[c] = m_heap[l];
60             c = l;
61             l = 2*l + 1;
62         }
63     }
64     m_heap[c] = tmp;
65 }
66
67 /*
68  * 删除最小堆中的data
69  *
70  * 返回值：
71  *      0，成功
72  *     -1，失败
73  */
74 int minheap_remove(int data)
75 {
76     int index;
77     // 如果"堆"已空，则返回-1
78     if(m_size == 0)
79         return -1;
80
81     // 获取data在数组中的索引
82     index = get_index(data);
83     if (index==-1)
84         return -1;
85
86     m_heap[index] = m_heap[--m_size];        // 用最后元素填补
87     minheap_filterdown(index, m_size-1);    // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆
88
89     return 0;
90 }
91
92 /*
93  * 最小堆的向上调整算法(从start开始向上直到0，调整堆)
94  *
95  * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。
96  *
97  * 参数说明：
98  *     start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引)
99  */
100 static void filter_up(int start)
101 {
102     int c = start;            // 当前节点(current)的位置
103     int p = (c-1)/2;        // 父(parent)结点的位置
104     int tmp = m_heap[c];        // 当前节点(current)的大小
105
106     while(c > 0)
107     {
108         if(m_heap[p] <= tmp)
109             break;
110         else
111         {
112             m_heap[c] = m_heap[p];
113             c = p;
114             p = (p-1)/2;
115         }
116     }
117     m_heap[c] = tmp;
118 }
119
120 /*
121  * 将data插入到二叉堆中
122  *
123  * 返回值：
124  *     0，表示成功
125  *    -1，表示失败
126  */
127 int minheap_insert(int data)
128 {
129     // 如果"堆"已满，则返回
130     if(m_size == m_capacity)
131         return -1;
132
133     m_heap[m_size] = data;        // 将"数组"插在表尾
134     filter_up(m_size);            // 向上调整堆
135     m_size++;                    // 堆的实际容量+1
136
137     return 0;
138 }
139
140 /*
141  * 打印二叉堆
142  *
143  * 返回值：
144  *     0，表示成功
145  *    -1，表示失败
146  */
147 void minheap_print()
148 {
149     int i;
150     for (i=0; i<m_size; i++)
151         printf("%d ", m_heap[i]);
152 }
153
154 void main()
155 {
156     int a[] = {80, 40, 30, 60, 90, 70, 10, 50, 20};
157     int i, len=LENGTH(a);
158
159     printf("== 依次添加: ");
160     for(i=0; i<len; i++)
161     {
162         printf("%d ", a[i]);
163         minheap_insert(a[i]);
164     }
165
166     printf("\n== 最 小 堆: ");
167     minheap_print();
168
169     i=15;
170     minheap_insert(i);
171     printf("\n== 添加元素: %d", i);
172     printf("\n== 最 小 堆: ");
173     minheap_print();
174
175     i=10;
176     minheap_remove(i);
177     printf("\n== 删除元素: %d", i);
178     printf("\n== 最 小 堆: ");
179     minheap_print();
180     printf("\n");
181 }

二叉堆的C测试程序

测试程序已经包含在相应的实现文件中了，这里就不再重复说明了。
最大堆(max_heap.c)的运行结果：

== 依次添加: 10 40 30 60 90 70 20 50 80
== 最 大 堆: 90 80 70 60 40 30 20 10 50
== 添加元素: 85
== 最 大 堆: 90 85 70 60 80 30 20 10 50 40
== 删除元素: 90
== 最 大 堆: 85 80 70 60 40 30 20 10 50

最小堆(min_heap.c)的运行结果：

== 依次添加: 80 40 30 60 90 70 10 50 20
== 最 小 堆: 10 20 30 50 90 70 40 80 60
== 添加元素: 15
== 最 小 堆: 10 15 30 50 20 70 40 80 60 90
== 删除元素: 10
== 最 小 堆: 15 20 30 50 90 70 40 80 60