算法-图论_关键节点的判断

无向图的关节点

概述：

在网络中关节点的判断将成为影响网络连通性的主要因素。节点之间通过关键点传递信息，如在我们以太网中的网关。当网关节点失效，那么两个网络之间的节点就不能够进行通信。在无线传感器网络中，会造成不能及时监控部分区域的信息。这次程序主要实现一个简单的判断关键节点方法，当然关键节点不能单靠两个节点之间的连通与否简单判断。

算法思想：

符合关键节点的条件为：后继结点不能访问该节点的父节点。也就是说只能通过该节点才能实现网络节点间的连通性。

如何的判断后继节点不能访问父节点？父节点如何的定义？我们很熟悉的就是利用DFS能够判断网络的连通性。因此我们依旧采用这种方式。假设一个图为如下所示：



那么它的深度优先遍历将会如下图所示：



图中的实线为深度优先遍历产生的树，虚线为节点的后向边。标注的后向边为节点能访问到最前的后向边。

由此可以利用一个计数来表示访问当前节点顺序。由此在访问子节点时其访问顺序必定会大于树中的父节点。如此保证了每个节点的唯一的一个编号，就如ID一样。再加一个表示后向边指向的在树中最高的节点Pred。一旦这个pred的值大于它的父节点，那么就说明它可以绕过父节点访问树中上面的节点。在图中，如f节点，尽管是从c节点遍历访问的，但是因为有指向a的后向边，a的计数小于c的计数（num），因此我们把f的pred指向a。

如何在代码中判断c是否为关节点。因为其子节点的pred<c的计数，所以我们认为c不是关键节点。那么节点对应的数据结构如下：

//判断连通性的节点定义
struct ConnectNode
{
int key;//键值
int num;//
int pred;//前向边的索引
bool bKeyNode;
};
//解释：在识别连通性时，将连接节点的边分为前向边与后向边

其中bKeyNode是为了判断该节点是否为关节点，防止在第一副图中b判断一次d节点，e又判断一个d节点，结果输出两次的情况。

但是还要注意的一个小细节是：当从a开始访问，c节点的后向边为a，肯定的是c.pred值将为a.num。因此我们需要判断节点是否为根节点且其孩子的个数。由此下面为联通图判断关键节点的类。

//连通性的图
class ConnectGraph
{
public:
int nodeNum;//节点个数

int **Matrix;//利用邻接矩阵存储数据
ConnectNode* nodes;//节点
int *keynodes;//存放关键节点
int resultPos;
int count;
bool **visitedMatrix;
int headChild;
}

其中count用以为每个节点的num赋值，保证唯一性。而visitedMatrix为了防止c访问a，a访问c这种不断的循环。将对应的边访问置为true进行避免。

程序的代码如下：

void blockSearch()//将网络按照关键节点分为若干块
{
//主要思想：对每个节点存放前向边
connectGraph(&nodes[0],&nodes[0]);//循环是避免
cout<<endl<<"关节点为：";
for (int i=0;i<resultPos;i++)
{
cout<<"  "<<keynodes[i];
}
cout<<endl<<totalCount;
}
void connectGraph(ConnectNode* node,ConnectNode* headNode)//判断是否连通
{
node->num=++count;
node->pred=node->num;
for (int i=0;i<nodeNum;i++)
{
int nodeKey=node->key;
if(visitedMatrix[nodeKey][i]==false&&Matrix[nodeKey][i]==1)
{
if (nodes[i].num==0)
{
visitedMatrix[nodeKey][i]=visitedMatrix[i][nodeKey]=true;
if (node==headNode)
{
headChild++;
}
connectGraph(&nodes[i],headNode);
if (nodes[i].pred>=node->num&&!node->bKeyNode)
{
if (node==headNode&&headChild<2)
{
continue;//防止出现从a开始但是子节点的pred不能大于头节点判断头结点为关节点
}
else
{
node->bKeyNode=true;//设置节点的关键节点为true
keynodes[resultPos++]=node->key;
}
}
else
{
if (node->pred>nodes[i].pred)//将子节点更高的前驱赋予此节点
{
node->pred=nodes[i].pred;
}
}

}//有一种情况是当节点不能前向到父节点之前的边，但是其它的由父节点引出的边可以到达
else
{   //防止节点的前向边指向父节点，进而产生多次的赋值
if (node->pred>nodes[i].num)//将较小的值赋予
{
node->pred=nodes[i].num;//为什么这后面又是num了呢？
}
}
}
}
}

相信上面的代码很简单，首先要判断当前节点是否已经被访问过了，没有则必须进行DFS算法。当该子节点都访问了之后判断pred值。

if (node->pred>nodes[i].pred)//将子节点更高的前驱赋予此节点
{
node->pred=nodes[i].pred;
}

当其pred的值更小，那么将子节点的pred赋予该节点，表示父节点能够通过子节点访问到更高的节点，这里不用担心会不会跨过关键点。因为所遍历的是子节点的。

如果子节点已经被访问过了，我们看到这条语句是。

if (node->pred>nodes[i].num)//将较小的值赋予
{
node->pred=nodes[i].num;//为什么这后面又是num了呢？
}

仔细想想注释中的疑问。因为如果当前节点为关键节点的子节点，那么它的一个邻居节点很可能就是关键节点，而关键节点的前驱很可能就是另一个连通块中的点的num。如果进行像上一条一样的复制，就等于说关键节点的子节点能够绕过关键节点，访问另一个图。

程序的运行结果为：

小结：

1） 通过前面的图的连通性或者是树的遍历，我发现以一个全局变量进行描述，比如该程序中的num，以及在检测环时的int* num数组都是这样的一个辅助效果。

2） 算法要深入的分析，就如何的判断根节点是否为关键点，我想了很多钟方案，包括1、是不是已经被访问过，其上一次被访问是否为根节点，等等。其实一个技术headChild就可以解决。减少计算的复杂度。

3） 本算法的时间复杂度还是比较高的。