矩阵的基本概念

矩阵的逆：

逆矩阵： 设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。

A是可逆矩阵的充分必要条件是∣A∣≠0，即可逆矩阵就是非奇异矩阵。（当∣A∣=0时，A称为奇异矩阵）

奇异矩阵：

奇异矩阵是线性代数的概念，就是对应的行列式等于0的矩阵。首先，看这个矩阵是不是方阵（即行数和列数相等的矩阵。若行数和列数不相等，那就谈不上奇异矩阵和非奇异矩阵）。 然后，再看此方阵的行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；若不等于0，称矩阵A为非奇异矩阵。
同时，由|A|≠0可知矩阵A可逆，这样可以得出另外一个重要结论:可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。　如果A为奇异矩阵，则AX=0有无穷解，AX=b有无穷解或者无解。如果A为非奇异矩阵，则AX=0有且只有唯一零解，AX=b有唯一解。

用途示例

非奇异矩阵还可以表示为若干个初等矩阵的乘积，证明中往往会被用到。
如果A(n×n)为奇异矩阵（singular matrix）<=> A的秩Rank(A)<n.
如果A(n×n)为非奇异矩阵（nonsingular matrix）<=> A满秩，Rank(A)=n.

一个方阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。
一个方阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。
一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。
转置矩阵：
把矩阵A的行换成相应的列，得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作AT或A。

正交矩阵：

如果：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。）或A′A=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵， 若A为单位正交阵，则满足以下条件:
1) AT是正交矩阵
2)

（E为单位矩阵）
3) A的各行是单位向量且两两正交
4) A的各列是单位向量且两两正交
5) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
6) |A| = 1或-1

基底：

若α1，α2，...，αn为向量空间Rn的一线性无关的向量组，且Rn中任一向量均可由α1，α2，...，αn线性表示，则称α1，α2，...，αn 为向量空间Rn的一个基底。

补充：

1.基底的特殊情况是 α1，α2，...，αn 相互正交而且都是单位向量，最最特殊的情况是单位矩阵E。

2.基底包含的向量个数=Rn 向量空间维数 <=向量维数。

坐标：

设α1，α2，...，αn 为向量空间Rn的一组基，对任意α属于Rn，存在唯一一组数，使

α=x1α1+x2α2+...+xnαn=[α1，α2，...，αn]X

则X=（x1，x2，...，xn）是向量α在基α1，α2，...，αn 上的坐标。

补充：

1.基底与坐标的线性组合就是坐标表示的向量。

基变换与坐标变换

若α1，α2，...，αn 和β1， β2，...，βn 为向量空间Rn 中的两组基，

则：

[β1， β2，...，βn]=[α1，α2，...，αn ]P

或

[α1，α2，...，αn ]=[β1， β2，...，βn]P-1

称为基变换公式.其中可逆矩阵P称为由基α1，α2，...，αn 到基 β1， β2，...，βn 的过渡矩阵。若向量α在基α1，α2，...，αn 和基 β1， β2，...，βn 上的坐标分别为X和Y，

即：　

α=[α1，α2，...，αn]X =[β1， β2，...，βn]Y=[α1，α2，...，αn ]PY,

则：

X=PY

或

Y=P-1 X

称为坐标转换公式。

补充：

1.可逆矩阵P 的特殊情况为正交矩阵，正交转换矩阵的特性是可以保持原向量之间的相对位置。

2.单就坐标而言，X是Y在P行向量上的投影。

3.当α1，α2，...，αn 是单位矩阵E，这时：

　α=[α1，α2，...，αn]X=EX=X

[β1， β2，...，βn]=[α1，α2，...，αn ]P=E*P=P

　α=[β1， β2，...，βn]Y=PY

　而P是正交矩阵时，这就是PCA和SVD的应用环境。