台湾大学公开课《概率》第五周一道不会作的作业题 ，一种看不懂的解法

第五周的第十题：

巷子呈直线,长L0 = 400 m,艾波宁宁宁以v0 = 4 m/s 初速等速穿越。士兵时时
刻刻瞄准她;第t 秒时是否击中她,是随时间t 的均匀的泊松事件(Poisson process),且
与距离离无关。其中,平均每μ 秒能击中一次,μ = 100 / ln( 50 ) 约为25.5622。士兵无法
击中巷子以外的区域;另外,只要她处于巷中,μ 就是常数数。
当她每被击中一枪,速度度就会减半;直到她恰中4 枪时,会当场死亡。亦即,中 n
枪时速度度依序为4, 2, 1, 0.5 m/s,其中n 依序为0, 1, 2, 3。
请问艾波宁宁宁成功捎信的机率率率为何? 亦即,在她处于巷子之中时,被射中低于四枪的
机率率率为何?(用小数数即可,误差合理理给对)

这道题目我没有想起来怎么做，只想起来可以用四重积分来做，太麻烦了。论坛有人给出一种仿真10000次来逼近答案的方法。

论坛有人给出以每一种速度移动的距离的PDF来计算的解法：

设随机变量X为总共走过的距离，我们有

X=X0+X1+X2+X3=v0T0+v1T1+v2T2+v3T3

其中随机变量

T0,T1,T2,T3

为中枪的时间间隔， 由于命中率和速度无关，所以

T0,T1,T2,T3

为同一分布， 记为

PT

我们可以证明，

PT

为指数分布，

记

PT

的累计概率函数为

FT

, 在观察时间t 中，k次中枪的概率为

PK(K=k)

FT(t+Δt)−FT(t)=P(t<T≤t+Δt)=PK(k=1)⋅Δtt=(tμ)1e−t/μ1!⋅Δtt

记

FT

的概率密度函数为

fT

, 所以我们有

fT=ΔFT/Δt=1μe−t/μ

所以

PT

为指数分布

对于随机变量Y = aX , a为常数

FY(y)=P(Y≤y)=P(X≤y/a)=FX(y/a)

对y求导，有

fY=fx(y/a)⋅1a

所以对于

X0
, 我们有

fX0=1v0μe−xv0μ=a0e−a0x

同样我们有

fX1=a1e−a1x

fX2=a2e−a2x

fX3=a3e−a3x

其中

ai= 1viμ

对于随机变量 Y = X1 + X2, 我们有

fY=∫0yfX1(x)⋅fX2(y−x)dx=fX1∗fX2
（本题中x都大于0，所以下限取0）
也就是两者的卷积。
带入上面的

fX1,fX2
, 积分后，当

a0≠a1
时 我们可以得到

fX0∗fX1=a0fX1a1−a0+a1fX0a0−a1

若

a0=a1
是，就是Erlang分布

所以对于

X=X0+X1+X2+X3
, 有

fX=fX0∗fX1∗fX2∗fX3

由数学归纳法，我们可以得到

fX=a1a2a3fX0(a1−a0)(a2−a0)(a3−a0)+a0a2a3fX1(a0−a1)(a2−a1)(a3−a1)+a0a1a3fX2(a0−a2)(a1−a2)(a3−a2)+a0a1a2fX3(a0−a3)(a1−a3)(a2−a3)

之后我们就可以求出

FX
, 得到

1−FX(400)

*表示卷积。这种方法真心碉堡了。当然，我没有看懂