hdu1098 数学归纳法简单应用

题目的关键是函数式f(x)=5*x^13+13*x^5+k*a*x;

事实上，由于x取任何值都需要能被65整除.那么用数学归纳法.只需找到f(1)成立的a,并在假设f(x)成立的基础上,

证明f(x+1)也成立.

那么把f(x+1)展开,得到5*( ( 13 0 )x^13 + (13 1 ) x^12 ...... .....+(13 13) x^0)+13*( ( 5 0 )x^5+(5 1 )x^4......其实就是二项式展开,这里就省略了 ......+ ( 5 5 )x^0 )+k*a*x+k*a;——————这里的(
n m)表示组合数,相信学过2项式定理的朋友都能看明白.

然后提取出5*x^13+13*x^5+k*a*x

则f(x+1 ) = f (x) + 5*( (13 1 ) x^12 ...... .....+(13 13) x^0 )+ 13*( (5 1 )x^4+...........+ ( 5 5 )x^0 )+k*a;

很容易证明，除了5*(13 13) x^0 、13*( 5 5 )x^0 和k*a三项以外,其余各项都能被65整除.

那么也只要求出18+k*a能被65整除就可以了.

而f(1)也正好等于18+k*a

所以,只要找到a,使得18+k*a能被65整除,也就解决了这个题目.

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int k, i, sum=1;
while( scanf("%d", &k)!=EOF )
{
for(i=1; i<=65; i++)
{
sum=i*k+18;
if( sum%65 == 0 )
break;
}
if( i==66 )
printf("no\n");
else
printf("%d\n", i);
}
}