hdu - 1568 fibonacci

fibonacci是一个非常有趣的数列，中文翻译是“斐波那契”，我则妄称之为"肥婆纳妾"，而对于肥婆纳妾我也是才刚刚接触，为什么说它有趣呢，当然不会是因为肥婆居然会纳妾啦，鄙人理由有四，

一. 有趣的兔子问题。若大家还记得中学的兔子问题，便会恍然大悟，原来自己和肥婆纳妾早已是老相识了，有道是白头如新，倾盖如故，便有这几分含味。

斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题：

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：

第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对；

两个月后，生下一对小兔总数共有两对；

三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；

……

依次类推可以列出下表：





二.有趣的通项公式。这是一个用无理数来表示有理数的公式，又叫比内公式，也就是说fibonacci的通项公式叫比内公式（即肥婆纳妾的条件是比内裤~~oh my god！），这个公式将是做这道题的关键之一，公式如下：



三.这肥婆居然和黄金分割有密切关系

有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割0.618.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）

1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…...

越到后面，这些比值越接近黄金比.

四.自然界的fibonacci

斐波那契数列在自然科学的其他分支，有许多应用。例如，树木的生长，由于新生的枝条，往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔，例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。


这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割数0.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时能达到89，甚至144条。

回归题目，看到a
= a[n - 1] + a[n - 2],大伙肯定想着用递归，可是递归对于0
<= n <= 100000000这么大的数就显得有心无力了，从效率来说，一般的递归要进行2^100000000次调用，不算时间上的耽搁，就连栈都会溢出，所以并不可用。记忆递归的话，只需进行100000000次调用即可，效率貌似解决得了，可是fibonacci增长速度极快，在n达到100之前就溢出了（_int64比int稍后而已），而题目只要求算前四位，这又让人想起了强大的log10（n）来，不得不说，假设一个数m，m = 10^lg(m),众所周知，一个数用科学计数法表示，可以写成a+10^b而10^b只是改变a的位权，对其数值并不影响，因此我们就等于把123456789这样的数转换成1.23456789来表示（就不用担心溢出了，但不能拿来四则运算，浮点数计算有误差！！），接下来，只要用好fibonacci的公式就好了，我们来化解一下公式（我看网上的化解法）对公式取log10，取完
后如下



此时我们分析题目，注意到两点

1.位数不大于四位的全部表示出来，而大于四位的则取其前四位。
2.当n越大时，取完log后的f（n）的最后一项越来越接近0,可以忽略不计，此时再用floor函数得到lg（f（n））的小数即可（10^1 = 10，小数的话就小于10，便是科学计数法的表示）
也就是说，在n < 21时，用记忆的递归就好了，在21以后就用公式，此时后项可忽略（n = 21时，答案才超过10000）
以下是个人代码：

#include<stdio.h>
#include<cmath>
int shu[10000];
int fibonacci(int n)
{
if(shu
> 0) return shu
;
if(n == 0 || n == 1) return n;
else return shu
= fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);

}
int main()
{
int n;
shu[0] = 0;
shu[1] = 1;
while(scanf("%d",&n) == 1)
{
if(n < 21)
printf("%d\n",fibonacci(n));
else
{
double m;
m =(-0.5)*log10(5.0) + n * log10(((1.0 + sqrt(5.0))/2.0));
m = m - floor(m);
m = pow(10.0,m);
while(m < 1000) m *= 10;
printf("%d\n",(int)m);
}

}
return 0;
}