HDU 1568 Fibonacci

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斐波拉契数列：(f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))

输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。

输出f
的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

分析一：暴力运算

1. 斐波拉契数列在第63位之前还可以用__int64来跑。

2. 此处显然超内存，所以采用大数，即数列存储的方式来完成加法。

3. 如果要存储每一个大数数列，则数列溢出。数列最大容量大概是2亿多：total image size 1028411392 exceeds max (268435456)，当n=100000000时，其斐波拉契数列长度*n肯定超过了数列容量。

4. 采用边丢边存的方法：即只采用2个数组f[2][LEN]，才用轮换的方式存储最新的运算值，丢弃更旧的值。

5. 采用边丢边存后，程序能够运行。但因为循环太多，导致明显超时了：n太大，LEN不可能很小；运算时要不断地把字符串数组提取到一维数组中，采用循环进行运算，运算后又要重新写回字符串数组。

采用上述方法的程序，功能满足，缺陷是超时：

分析二：求大数前几位的方法

当一个数非常大时，如何求出其前几位呢？

如果是给定一个特定的数，当然可以逐步取出每一位即可。如

a得个位，a/10得百位，a/10/10得千位。

但是，当求x^y的前几位时怎么办呢？若x，y都非常大，则显然很难解决：也许可以用大数乘法，暴力求解，结果自然是既占内存，又耗时间。

还有，此题斐波拉契数列的前几位，显然求出每个斐波拉契数是不现实的。因此，可以采用取对数的方法来解决。

先看对数的性质,loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);假设给出一个数10234432,那么log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)=log10(1.0234432)+7

log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.

log10(1.0234432)=0.010063744

10^0.010063744=1.023443198，

要求该数的前4位，则将1.023443198*1000即可。

因此，pow(10.0,x的小数部分)即可方便求出x的前几位。

求一数的前4位的对数方法可以表述为：

double x,temp;

while(scanf("%lf",&x)!=EOF)

{

temp=log(x)/log(10.0);

temp=temp-floor(temp); //floor(temp)函数求出小于temp的最大整数

temp=pow(10.0,temp);

while(temp<1000)

temp*=10;

//printf("%.0lf\n",temp); //采用浮点表达法时会四舍五入

printf("%d\n",(int)temp);//此处不需四舍五入，直接舍弃后面的位

}

}

分析三：采用斐波拉契数列通项公式

由上节可知，可以采用对数法解决该斐波拉契问题。以下为斐波拉契数列的通项公式。

F(n)=（1/√5）*[（（1+√5）/2）^n-（（1-√5）/2）^n]（n=1，2，3.....）

改变通项的形式

F(n)=（1/√5）*[（（1+√5）/2）^n-（（1-√5）/2）^n]（n=1，2，3.....）

=(1/√5)*[((1+√5)/2)^n*(1-((1-√5)/(1+√5))^n）]（n=1，23.....）

即F(n)的各项可以由以上通项公式求得，而不是采用迭代。

对变化后的通项取对数，则得下式：

log10（F(n)）=-0.5*log10（5.0）+（（double）n）*log（f）/log（10.0）+log10（1-（（1-√5）/（1+√5））^n）

其中第三部分非常小，当n很大时趋近于0，可以忽略掉。

因此，采用下式即可：

temp=-0.5*log(5.0)/log(10.0)+((double)n)*log(s)/log(10.0);

代码：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int f[21]={0,1}; //前20位都在四位数以内，直接输出即可
int main(void)
{
int i,n;
double temp;
double s=(sqrt(5.0)+1.0)/2.0;
for(i=2;i<21;i++)
f[i]=f[i-1]+f[i-2];   //前20位直接计算输出
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
if(n<21)
{
printf("%d\n",f
);
continue;
}
else
{
temp=-0.5*log(5.0)/log(10.0)+((double)n)*log(s)/log(10.0);
temp-=floor(temp);
temp=pow(10.0,temp);
while(temp<1000)
temp*=10;
printf("%d\n",(int)temp);
}
}
return 0;
}