一个数拆分成连续自然数的和（只考加法的面试题）

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题目：给定一个自然数，如何将它拆分成几个连续的自然数的和的形式，例如：9 = 4 + 5，12 = 3 + 4 + 5等，有哪些数不能分解成这样的形式，例如4，8等

分析：通过上面的几个例子可以发现一下规律：

1)所有的奇数n都可以分解成(n/2) + (n/2 +1)

2)偶数有点麻烦，先对部分例子进行计算，比如6 = 1 + 2 + 3，10 = 1 + 2 + 3 + 4， 12 = 3 + 4 + 5， 30 = 9 + 10 + 11 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8，我们发现如果n能够被一个奇数整除，例如12/3 = 4，12可以被3整除，那么构造方案就可以以商为中心向两边扩展，每次过看都增加2个数，而这两个数的和/2刚好为商，这样就可以有奇数个商相乘，刚好等于被除数，这是一种构建方法。但这种方法有时会有问题，比如10，它可以被奇数5整除，但按照上面的构建策略会有问题，经过分析发现，上面构造的方法，结果一定是奇数个数相加，而10的构建是偶数个数相加。对于这类数，我们如何处理呢？经过举例归纳我们发现，如果一个数被2整除后商是奇数，那么可以这样来构建，因为两个这样的奇数加起来可以得到n，而奇数的构建可以通过(n/2)
+ (n/2 +1)来构建起来，那么我们知道数列((n/2) -1 ) 与(n/2+1) +1 的和等于(n/2) + (n/2 +1)，而这4个数都是连续的。经过上面的分析，我们可以构建所有n/2为奇数的情况，以及n可以被某个奇数整除的情况，但我们一直不能处理n不能被某个奇数整除的情况，事实上这种数如2，4，8， 16,...,2^n是不能拆分的，下面来证明为什么会这样。

3）证明2^n不能拆分成题目要求的形式，我们可以相像，拆分后的数字个数要么为奇数个要么为偶数个。

先看拆分为奇数个数的情况，假设拆分成a[1]+ a[2]+ ...+ a[j]其中j为奇数，那么(a[1]+a[j]) = (a[2]+a[j-1])=...= a[(1+j)/2]，这些数相加刚好等于（(1+j) +1) *a[(1+j)/2]因为j位奇数，j+2也为奇数，也就是说n有一个奇数的因子；

再看拆分为偶数个数的情况，假设拆分成a[1]+ a[2]+ ...+ a[j]其中j为偶数，那么(a[1]+a[j]) = (a[2]+a[j-1])=...= (a[j/2] + a[j/2+1])，这些数相加的和等于(j/2)*(a[j/2] + a[j/2+1])，我们知道(a[j/2] + a[j/2+1])是相邻的自然数，必定一个为奇数一个为偶数，所以(a[j/2] + a[j/2+1])必定为奇数，也就是说n有一个奇数的因子；

这两种情况都证明了n如果能够被拆分，一定含有一个奇数的因子，而2^n恰好不含有奇数的因子，因此不能被拆分。

参考文献

编程之美2.21