POJ 3621 Sightseeing Cows 01分数规划(参数搜索)+最短路

题目大意:在一个有向图中,点有点权,边有边权,找一个环使环上的点权之和与边权之和的比最大。 ( 学名: 最优比率生成环..? )

解题思路: 首先必备的知识点是分数规划,还得去看Amber的《最小割模型在信心学竞赛中的应用》....(貌似近期每篇都要提一提...)

可以跳过前面的直接从第十页开始看, 了解分数规划特别是01分数规划。

总的来说,就是求一个环,使得环上经过的点的点权Vi,经过的边的边权,Ej, sum( Vi )/sum( Ej ) 最大。

为了简单表示,我们把任意一个环的sum( Vi )表示为V, sum( Ej ) 表示为E。

就是求一个m=max( V /E )

V - E*m = 0

我们令h(m)=V - E*m

h(m) 是一个非递增的函数 （这个自己画画就知道了）

二分枚举m,

当h(m)=0时的m就是我们要求的值。（至于为什么，看论文...分数规划）

上面是一个大体的思路,

但是对于每次枚举的m,

我们不可能枚举每种状态下的V 和 E , 然后求出确切的 V-E*m的值,情况太多,也不现实,

所以我们退而求其次,对于每个m,我们求h(m)是否大于0即可,

在一定的精度条件下,恰好使h(m)>0 和h(m)<0的那个分界点就可以认定为我们要求的值。

然后就是判断h(m)>0的方法了：（这个可以在图上画画转化为自己的思路）

每枚举一个m时重构图,

对于原图的每条边c(u,v)=Ei, 建c(u,v)=Ei*m ,点权不变,

然后每个环上的权值为点权减去边权,

如果出现正环了就说明h(m) > 0 , (从图形上理解就是m尚未达到上限,还有继续往上调的空间)

就这样,判断在一定精度下h(m)恰好大于0的m的值即可。

具体实现看代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;

#define N 1010
#define M 5010
#define INF 1e6
#define FOR(i,l,r) for(int i=(l);i<=(r);++i)
#define REP(i,n) for(int i=0;i<=(n);++i)
struct
{
int to,next;
int c;
} edge[M];
double dis
;
int v
;
int out
;
bool visit
,flag
;
int n,m;
int head
,ip;
void add(int u,int v,int c)
{
edge[ip].to=v;
edge[ip].c=c;
edge[ip].next=head[u];
head[u]=ip++;
}
bool solve(double x)
{
memset(flag,0,sizeof(flag));
memset(visit,0,sizeof(visit));
memset(dis,0,sizeof(dis));
memset(out,0,sizeof(out));
queue<int>q;
FOR(start,1,n)//枚举每个没被访问过的点为起点开始寻找环
{
if(flag[start]) continue;
//从这往后基本上就是spfa判正环的思路,用其他的会TLE
dis[start]=0;
q.push(start);
visit[start]=1;
int top,to;
double temp;
while(!q.empty())
{
top=q.front();
q.pop();
visit[top]=0;
flag[top]=1;
for(int p=head[top]; p!=-1; p=edge[p].next)
{
to=edge[p].to;
temp=edge[p].c*x - v[to];//我每次枚举mid没有重构图,直接把边权*mid了,效果是一样的
if(dis[to]<dis[top] - temp )
{
dis[to]=dis[top] - temp;
if(!visit[to])
{
if(++out[to]>=n) return 1; //有正环,h(mid)>0
q.push(to);
visit[to]=1;
}
}
}
}
}
return 0;//无正环,h(mid)<=0
}

int main()
{
int x,y,c;
while(cin>>n>>m)
{
memset(head,-1,sizeof(head));
ip=0;
FOR(i,1,n) scanf("%d",&v[i]);
while(m--)
{
scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);
add(x,y,c);
}
double exp=0.001;//调节精度
double r=1000,l=0,mid;
while(r-l>exp)//二分枚举每个mid,判断在枚举mid时是否出现正环
{
if(solve(mid)) l=mid;
else r=mid;
mid=(l+r)/2.0;
}
if(l>exp) printf("%.2f\n",l);//建议不要输出mid,输出l,因为精度原因mid可能与正确答案有误差,但l是一定满足的
else printf("0");
}
return 0;
}