算法导论12.2-8 从任意结点使用后继函数k次的时间复杂度为O(k+h)

从任意结点使用后继函数k次，假设二叉搜索树的高度为h，则时间复杂度为O(k+h)

分析

从表面上来看，回溯父结点的复杂度为O(h)，如果多次回溯，则总体复杂度可能远超O(k+h)

再想使用数学归纳法，假设起始结点和回溯结点分别位于某个结点的左右子树，然后发现无法使用替换法证明。最后从12.2-7 中得到一丝信息，即只要证明后继函数k次后，访问结点的总次数为O(k+h)即可

证明

设定遍历的起始结点为S，结束结点为T，则S和T的关系总共有3种(如下图)。



(1) S 和 T有共同的祖先结点p，S在P的左子树，T在P的右子树

(2) T 为S的祖先，S在T的左子树中

(3) S 为T的祖先，T在S的右子树中

下面仅证明在(1) 的情形，(2) (3)可类似证明在(1) 的情形下，设S到P的折线段为Ls，T到P的折线段为Lt，

先证明一个简单的引理，从S访问到P，仅仅访问Ls右方、Lt左方的结点，这个引理看起来也是对的，假设Ls上某个结点x的左孩子y，则S存在于结点x的右子树，从bst_successor 代码可以发现，回溯时仅仅访问父结点，不会访问到父结点的左孩子，只可能访问父结点的右孩子，所以y结点不可能访问到

再证明一个简单的引理，在(1) 的情形下，P的左子树中所有在Ls右方的所有结点都会作为后继被遍历到

假设Ls上某个结点x，有右子树y，则S在结点x的左子树上，所以有 S< x < y < P，所以结点x的右子树的所有结点都会作为后继被遍历到

假设S=>T的遍历过程，在P左子树遍历r个结点，在P右子树遍历s个结点，则k = r + s + 2，2是因为要访问到P和P的右子树的最小结点。再证明P左子树访问结点个数最多为 r + (h-1)，因为除了Ls上的结点，P左子树在Ls右方的所有结点都是后继，都在r中，最多是Ls上的结点不属于后续结点，Ls长度最长为h-1

根据12.2-7的证明，P左子树访问结点总次数 H(r, h-1) <= 2(r+h-1)，P右子树访问结点总次数 H(s, h-1) <= 2(s+h-1)，S=>T遍历过程访问结点次数

H(k,h) <= H(r, h-1) + (h-1) + 1 + (h-1) + 1 + H(s,h-1)

H(k,h) <= 2(r+h-1) + (h-1) + 1 + (h-1) + 1 + 2(s+h-1)=2(k+2h-2)=O(k+h)

当S和T有子结点时也很好证明，(2) (3)情形也可以类似证明