并查集（union-find set or DisjointSets）

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并查集：(union-find sets)
一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskar算法求最小生成树。

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并查集的精髓（即它的三种操作，结合实现代码模板进行理解）：
1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合
初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。
2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合
查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。

判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。

合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先，具体见示意图
3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合
合并两个不相交集合操作很简单：

利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。如图



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并查集的优化
1、Find_Set(x)时 路径压缩

寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？

答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。

2、Union(x,y)时 按秩合并

即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。



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并查集的应用示例，参考文章：/article/5481366.html

代码如下：

View Code
#include <iostream>
#include <cassert>
#include <fstream>

using namespace std;

int n, m;
int father[30005], num[30005];

//初始化
void makeSet(int n)
{
for (int i=0;i<n;i++)
{
father[i]=i;
num[i]=1;
}
}

//查找，并伴随有路径压缩
int findSet(int x)
{
if (father[x]!=x)
{
father[x]=findSet(father[x]);
}
return father[x];
}

//合并，修改num的值
void Union(int a,int b)
{
int x=findSet(a);
int y=findSet(b);
if (x==y)
{
return ;
}
if (num[x]<=num[y])
{
father[x]=y;
num[y]+=num[x];
}
else
{
father[y]=x;
num[x]+=num[y];
}
}

int main()
{
ifstream infile("data.txt");
while ((infile>>n>>m) && n!=0)
{
makeSet(n);
for (int i=0;i<m;i++)
{
int count, first, b;
infile>>count>>first;
for (int j=1;j<count;j++)
{
infile>>b;
Union(first,b);
}
}
cout<<num[findSet(0)]<<endl;
}
infile.close();
return 0;
}

data.txt文件内容如下：

100 4

2 1 2

5 10 13 11 12 14

2 0 1

2 99 2

200 2

1 5

5 1 2 3 4 5

1 0

0 0

注：在程序中使用num[x]记录以x为根的集合含有的元素的个数。在具体问题时，合理使用“秩”来计数，可以迎刃而解。
复杂度分析

空间复杂度为O(N)，建立一个集合的时间复杂度为O(1)，N次合并M查找的时间复杂度为O(M Alpha(N))，这里Alpha是Ackerman函数的某个反函数，在很大的范围内（人类目前观测到的宇宙范围估算有10的80次方个原子，这小于前面所说的范围）这个函数的值可以看成是不大于4的，所以并查集的操作可以看作是线性的。具体复杂度分析过程见参考资料（3）。

应用

并查集常作为另一种复杂的数据结构或者算法的存储结构。常见的应用有：求无向图的连通分量个数，最近公共祖先（LCA），带限制的作业排序，实现Kruskar算法求最小生成树等。

参考文章：

/article/5481365.html

/article/5481366.html

http://www.nocow.cn/index.php/%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86

http://dongxicheng.org/structure/union-find-set/