并查集（union-find set or DisjointSets）

l 并查集：(union-find sets)

一种简单的用途广泛的集合. 并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作，应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskar算法求最小生成树。

l 并查集的精髓（即它的三种操作，结合实现代码模板进行理解）：

1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合

初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身（也可以根据情况而变）。

2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合

查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。
判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先，具体见示意图

3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合

合并两个不相交集合操作很简单：
利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。如图

View Code

#include <iostream>
#include <cassert>
#include <fstream>

using namespace std;

int n, m;
int father[30005], num[30005];

//初始化
void makeSet(int n)
{
for (int i=0;i<n;i++)
{
father[i]=i;
num[i]=1;
}
}

//查找，并伴随有路径压缩
int findSet(int x)
{
if (father[x]!=x)
{
father[x]=findSet(father[x]);
}
return father[x];
}

//合并，修改num的值
void Union(int a,int b)
{
int x=findSet(a);
int y=findSet(b);
if (x==y)
{
return ;
}
if (num[x]<=num[y])
{
father[x]=y;
num[y]+=num[x];
}
else
{
father[y]=x;
num[x]+=num[y];
}
}

int main()
{
ifstream infile("data.txt");
while ((infile>>n>>m) && n!=0)
{
makeSet(n);
for (int i=0;i<m;i++)
{
int count, first, b;
infile>>count>>first;
for (int j=1;j<count;j++)
{
infile>>b;
Union(first,b);
}
}
cout<<num[findSet(0)]<<endl;
}
infile.close();
return 0;
}

data.txt文件内容如下：

100 4

2 1 2

5 10 13 11 12 14

2 0 1

2 99 2

200 2

1 5

5 1 2 3 4 5

1 0

0 0

注：在程序中使用num[x]记录以x为根的集合含有的元素的个数。在具体问题时，合理使用“秩”来计数，可以迎刃而解。

复杂度分析

空间复杂度为O(N)，建立一个集合的时间复杂度为O(1)，N次合并M查找的时间复杂度为O(M Alpha(N))，这里Alpha是Ackerman函数的某个反函数，在很大的范围内（人类目前观测到的宇宙范围估算有10的80次方个原子，这小于前面所说的范围）这个函数的值可以看成是不大于4的，所以并查集的操作可以看作是线性的。具体复杂度分析过程见参考资料（3）。

应用

并查集常作为另一种复杂的数据结构或者算法的存储结构。常见的应用有：求无向图的连通分量个数，最近公共祖先（LCA），带限制的作业排序，实现Kruskar算法求最小生成树等。

参考文章：

/article/5481365.html

/article/5481366.html

http://www.nocow.cn/index.php/%E5%B9%B6%E6%9F%A5%E9%9B%86

http://dongxicheng.org/structure/union-find-set/