中国剩余定理(同余方程组)小结

问题简单来说就是 a = ai (mod ni) 求未知数a,

以下小结略去证明, 只是对定理作了必要的解释, 要了解相关定理,可查阅数论资料.

中国余数定理:

设 n=n1*n2...nk, 其中因子两两互质.有: a-----(a1,a2,...,ak), 其中ai = a mod ni, 则 a和(a1,a2,...,ak)关系是一一对应的.就是说可以由 a求出(a1,a2,...,ak), 也可以由(a1,a2,...,ak)求出a

推论1:

对于 a=ai (mod ni) 的同余方程,有唯一解

下面说说由(a1, a2, ..., ak)求a的方法:

定义 mi = n1*n2*...nk / ni; ci = mi(mf mod ni); 其中 mi*mf mod ni = 1;

则 a = (a1*c1+a2*c2+...+ak*ck) (mod n) (注:由此等式可求a%n, 当n很大时)

中国剩余定理关键是mf的求法,如果理解了扩展欧几里得 ax+by=d, 就可以想到:

mi*mf mod ni = 1 => mi*mf+ni*y=1;

代码如下:

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

const int MAXN = 100;
int nn, a[MAXN], n[MAXN];

int egcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    int d;
    if (b == 0) {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    } else {
        d = egcd(b, a%b, y, x);
        y -= a/b*x;
        return d;
    }
}

int lmes() {
    int i, tm=1, mf, y, ret=0, m;
    for (i=0; i<nn; i++) tm *= n[i];
    for (i=0; i<nn; i++) {
        m = tm/n[i];
        egcd(m, n[i], mf, y);
        ret += (a[i]*m*(mf%n[i]))%tm;
    }
    return (ret+tm)%tm;
}

int main() {
    a[0] = 4; a[1] = 5;
    n[0] = 5; n[1] = 11;
    nn = 2;
    printf("%d\n", lmes());
    return 0;
}