动态规划——矩阵连乘的问题

本文转自：/article/6093250.html

《问题的引出》
看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50
按此顺序计算需要的次数（（A1*A2）*A3）:10X100X5+10X5X50=7500次
按此顺序计算需要的次数（A1*（A2*A3））:10X5X50+10X100X50=75000次
所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。
枚举显然不可，如果枚举的话，相当于一个“完全加括号问题”，次数为卡特兰数,卡特兰数指数增长，必然不行。
《建立递归关系》
子问题状态的建模（很关键）：令m[i][j]表示第i个矩阵至第j个矩阵这段的最优解。
显然如果i=j，则m[i][j]这段中就一个矩阵，需要计算的次数为0；
如果i>j，则m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]Xp[k]Xp[j]},其中k,在i与j之间游荡，所以i<=k<j ;
代码实现时需要注意的问题：计算顺序！！！
因为你要保证在计算m[i][j]查找m[i][k]和m[k+1][j]的时候，m[i][k]和m[k+1][j]已经计算出来了。
观察坐标的关系如图：




所以计算顺序如上右图：相应的计算顺序对应代码为13-15行
m[1]
即为最终求解，最终的输出想为（（A1（A2 A3））（（A4 A5）A6））的形式，不过没有成功，待思考...

1 #include<iostream>
2  using namespace std;
3  const int MAX = 100;
4 //p用来记录矩阵的行列，main函数中有说明
5 //m[i][j]用来记录第i个矩阵至第j个矩阵的最优解
6 //s[][]用来记录从哪里断开的才可得到该最优解
7 int p[MAX+1],m[MAX][MAX],s[MAX][MAX];
8 int n;//矩阵个数
9
10 void matrixChain(){
11     for(int i=1;i<=n;i++)m[i][i]=0;
12
13     for(int r=2;r<=n;r++)//对角线循环
14         for(int i=1;i<=n-r+1;i++){//行循环
15             int j = r+i-1;//列的控制
16             //找m[i][j]的最小值，先初始化一下，令k=i
17             m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
18             s[i][j]=i;
19             //k从i+1到j-1循环找m[i][j]的最小值
20             for(int k = i+1;k<j;k++){
21                 int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
22                 if(temp<m[i][j]){
23                     m[i][j]=temp;
24                     //s[][]用来记录在子序列i-j段中，在k位置处
25                     //断开能得到最优解
26                     s[i][j]=k;
27                 }
28             }
29         }
30 }
31
32 //根据s[][]记录的各个子段的最优解，将其输出
33 void traceback(int i,int j){
34     if(i==j)return ;
35
36     traceback(i,s[i][j]);
37     traceback(s[i][j]+1,j);
38     cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j]<<"and A"<<s[i][j]+1<<","<<j<<endl;
39 }
40
41 int main(){
42     cin>>n;
43     for(int i=0;i<=n;i++)cin>>p[i];
44     //测试数据可以设为六个矩阵分别为
45     //A1[30*35],A2[35*15],A3[15*5],A4[5*10],A5[10*20],A6[20*25]
46     //则p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
47     //输入：6 30 35 15 5 10 20 25
48     matrixChain();
49
50     traceback(1,n);
51     //最终解值为m[1]
;
52     cout<<m[1]
<<endl;
53     return 0;
54 }