原码、反码、补码、移码 终极总结

原码、反码、补码、移码  终极总结
全文分析案例中假设机器字长为8位，即编码总位数为8
 
0、 二进制基础

1字节 = 8位，所以它能表示的最大数当然是8位都是1

即1字节的二进制数中，最大的数：1111 1111。

（1111 1111）B = 28 – 1  =  255  =  MAX

无论是什么进制，都是左边是高位，右边是低位。

1个字节有8位，可以表达的最大的数是255，也就是说表示0~255这256个数。

那么两个字节（双字节数）呢？双字节共16位。 1111111111111111，这个数并不大，但长得有点眼晕，从现在起，我们要学会这样来表达二制数：

1111 1111 1111 1111,即每4位隔一空格。

双字节数最大值为：

1 * 215 + 1 *214 + 1* 213 + 1 * 212 + 1 * 211 + 1
* 210 + …… + 1 * 22 + 1 * 21 + 1* 20 = 65535

 

1、机器数、无符号数、有符号数

在计算机中既可以使用无符号数也可以使用带符号数，由于计算机仅“认得”二进制，所以在计算机内部，所有信息都是用二进制数串的形式表示的。故带符号数的符号也必须二进制化。即用0、1来表示。规定用最高位来表示数的符号：‘0’表示正号、‘1’表示负号。一个数在机器（计算机）中的表示形式称为该数的机器数。反之，一个机器数所表示的那个数的本身称该机器数的真值。而将一个真值表示成二进制字串的机器数的过程就称为编码。

无符号数和它的机器数在表示形式上是完全一致的，其特点是每一个二进制位均表示数值。

 

无符号数没有原码、反码和补码一说。只有带符号数才存在不同的编码方式。

 

2、无符号数和有符号数的范围区别

无符号数中，所有的位都用于直接表示该值的大小。有符号数中最高位用于表示正负，所以，当为正值时，该数的最大值就会变小。我们举一个字节的数值对比：

无符号数： 1111 1111  值：255 1* 27 + 1*
26 + 1* 25 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 1* 20

有符号数： 0111 1111  值：127        1* 26 +
1* 25 + 1* 24 + 1* 23 + 1* 22 + 1* 21 + 1* 20

 

同样是一个字节，无符号数的最大值是255，而有符号数因其最高位被挪去表示符号而导致最大表示值缩水为：127。不过，有符号数的长处是它可以表示负数。因此，虽然它的在最大值缩水了，却在负值的方向出现了伸展。我们仍一个字节的数值对比：

无符号数：        0--------------------------255

有符号数：        -128 --------- 0 ----------127

同样是一个字节，无符号的最小值是0，而有符号数的最小值是-128。所以二者能表达的不同的数值的个数都一样是256个。只不过前者表达的是0到255这256个数，后者表达的是-128到+127这256个数。

 

3、带符号数在计算机中原码、反码、补码和移码的表示法

3.1 原码表示法

最高位表示符号（“0”表示正数，“1”表示负数），其余位表示数值。如

[ +8 ]原 = 0
000 1000  [ -8 ]原 = 1000 1000

[注] 红色表示符号位，蓝色表示数值位

 

3.2反码表示法

正数的反码与其原码相同，如[ +8 ]反 = [ +8 ]原 = 0000 1000

负数的反码是将其原码的数值位按位取反，符号位不变，如[ -8 ]反 =1111 0111

 

3.3 补码表示法

正数的补码与其原码相同，如[ +8 ]补 = [ +8 ]反 = [ +8 ]原 =
0 000 1000

负数的补码是将其反码在末位上加1，即得所求。如[ -8 ]补 = 1111 1000

 
采用补码的两个原因

[1]   引入补码的原因是为了用加法代替减法，因为使用补码可以将符号位和其他位统一处理。通常，在计算机内部用补码来表示符号数。

[2]   两个用补码表示的数相加时，如果最高位（符号位）有进位，则进位被舍弃。

 

补码运算有两个好处

[1]   使符号位能与有效值部分一起参加运算，从而简化运算规则。从而可以简化运算器的结构，提高运算速度；（减法运算可以用加法运算表示出来）

[2]   加法运算比减法运算更易于实现。使减法运算转换为加法运算，进一步简化计算机中运算器的线路设计。

 

下面深入分析上面所陈述的采用补码的原因（目的）。

用带符号位的原码进行乘除运算时结果正确,而在加减运算的时候就出现了问题，如下：假设字长为8bits

( 1 ) 10–(1)10 = (1 )10 + ( -1
)10= ( 0 )10

(00000001)原 + (10000001)原= (10000010)原
= ( -2 ) 显然不正确.。

因为在两个整数的加法运算中是没有问题的，于是就发现问题出现在带符号位的负数身上，对除符号位外的其余各位逐位取反就产生了反码。反码的取值空间和原码相同且一一对应。

反码的减法运算：

( 1 ) 10–(1)10 = (1 )10 + ( -1
)10= ( 0 )10

(00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反=
( -0 ) 有问题。

( 1 )10 - ( 2)10 = (1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

(00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反=
( -1 ) 正确

问题出现在(+0)和(-0)上，在人们的计算概念中零是没有正负之分的。

于是就引入了补码概念。负数的补码就是对反码加1，而正数不变，正数的原码反码补码是一样的。在补码中用(-128)代替了(-0)，所以补码的表示范围为：(-128~0~127)共256个。

[注](-128)没有相对应的原码和反码，(-128)
= (10000000)补

补码的加减运算如下：

( 1 ) 10–(1)10 = (1 )10 + ( -1
)10= ( 0 )10

(00000001)补 + (11111111)补= (00000000)补
= ( 0 ) 正确

( 1 )10 - ( 2)10 = (1 )10 + ( -2 )10 = ( -1 )10

(00000001) 补+ (11111110)补= (11111111)补
= ( -1 )正确

采用补码表示还有另外一个原因，那就是为了防止0的机器数有两个编码。原码和反码表示的0有两种形式+0和-0，而我们知道，+0和-0是相同的。这样，8位的原码和反码表示的整数的范围就是-127~+127（11111111~01111111），而采用补码表示的时候，00000000是+0，即0；10000000不再是-0，而是-128，这样，补码表示的数的范围就是-128~+127了，不但增加了一个数得表示范围，而且还保证了0编码的唯一性。

 

补码表示法小结

补码表示范围是 -128至127.
根据补码的几条规定即可推出上述结论：
1 若二进制每位全为0,则表示数0
2 若最高位（即符号位）为0,表示正数
3 若最高位为1,表示是负数，而该负数的绝对值是多少呢？将每个二进制位（包括符号位）取反加1，得到一个二进制数，将该数看成无符号数，其值就是上述负数的绝对值。
[例]二进制的 10000000的最高位为1, 所以它表示的是负数。是负的多少呢？我们将其八位全部取反，得到01111111, 然后加1，得到10000000.将该数看作无符号数，值为128,
故计算机中的10000000表示的是-128
由于“编码总位数为8”的限制，真值 -128无法用原码、反码来表示（如果要表示就要用9位才行，如 110000000  [红色为符号位，蓝色为数值位]），似乎不能用上述规则来求解补码，但实际上是可行的——只要不管它的最高位即可，操作办法如下：

将128化为二进制为：1 0000000，最高位为1，可以只对舍去最高位后剩余的7位进行处理即可，首先取反得：1111111，加1得：1 0000000，最高位有进位需丢弃，即得：0000000，加上符号位就得补码：1
0000000。

最高位（即符号位）为1的8位有符号数有128个，故可表示128个负数；最高位为0的8位有符号数有128个，但全0的那个表示数0，所以总共只能表示127个正整数。
所以补码可以表示 128个负数 + 一个0 +127个正数 =256 个数。
 

3.3.1由补码求其真值的方法

先看[X]补的最高位，若为‘0’，说明X为正数，且其[X]补的其余位即X的数值；如为‘1’，说明X为负数，其数值应通过将[X]补的其余位按位取反，然后末位加1的方法得到。

[例1] 已知[X]补 = 0111 1000，求X的真值。

[解 ]  由于最高位为0，故X为正，数值为111 1000 ， 所以 X = +120

[例2] 已知[X]补= 1011 0010 ，求X的真值。

[解 ]  由于最高位为1，故X为负，将[X]补的其余位011 0010 逐位取反且末位加1，便得到X的数值100 1110，所以 X = -78。

 

3.3.2 “溢出”的判断方法

8位二进制补码所能表示的带符号数的范围是 -128 至 +127，当运算结果超出了这一范围时，将会出错。这种出错在计算机术语中称之为“溢出”。在计算机中，“溢出”的判断是由下面的逻辑表达式来实现的（设采用n位二进制补码进行运算）：

OF = CYn⊕CYn-1
其中，OF是“溢出”标志位，为1表示溢出；CYn是最高位的进位（第n位向第n+1位的进位）；CYn-1是次高位的进位（第n-1位向第n位的进位）。⊕是异或逻辑运算符，左右两值相同为假，不同为真。

 

3.3.3求补运算方法

所谓“求补”就是将补码的每一位（包括符号位）逐位取反，末尾加1。

应用公式：

[  [ X ]补]求补 = [ -X ]补
[例][ [+8]补 ]求补 = [ -8 ]补

即 [ [0000 1000]补 ]求补 = [ 1111 1000 ]补

[注]有一个方法可以快速进行求补运算，从当前补码右边数起，直到第一个1（包括其自身）之间的位值不变，其余位求反就是结果。

[例] [+8]补 =0000 1000 从当前补码右边数起，直到遇到第一个1（这里我们用红色标出来了）为止，那么从右边数过来直达这个1（包括其自身）之间的位值（本例中为1000）不变，其余位求反，就是[
[+8]补 ]求补的结果：11111000

 

3.4 移码表示法

移码（又叫增码）是符号位取反的补码，一般用做浮点数的阶码，引入的目的是为了保证浮点数的机器零为全0。

移码的定义：设由1位符号位和n位数值位组成的阶码，则 [X]移=2En + X -2n≤X ≤ 2n

　　例如： X= ＋1011

           [X]移=11011 符号位“1”表示正号

　　       X = －1011

           [X]移=00101 符号位“0”表示负号

移码与补码的关系： [X]移与[X]补的关系是符号位互为相反数（仅符号位不同），

　　例如：X= ＋1011

          [X]补=01011

          [X]移=11011

　　  X = －1011

          [X]补=10101

          [X]移=00101

 

参考来源

[1] http://blog.csdn.net/nyhuachen/article/details/6424736

[2] http://foryou11.blog.163.com/blog/static/178378113201151482136735/

[3] http://blog.163.com/ac_victory/blog/static/10331872620097262409141/?fromdm&fromSearch&isFromSearchEngine=yes

[4] http://leochal.blog.163.com/blog/static/2760656420083232331362/?fromdm&fromSearch&isFromSearchEngine=yes

[5] http://blog.csdn.net/studyvcmfc/article/details/7603555

[6] http://www.cnblogs.com/acheng99/archive/2009/09/02/1559037.html