Khan公开课 - 统计学学习笔记：（三）随机变量、概率密度、二项分布、期望值

随机变量 Random Variable

随机变量和一般数据上的变量不一样，通常用大写字母表示，如X、Y、Z，不是个参数而是function，即函数。例如，下面表示明天是否下雨的随机变量X，如下。又例如X=每小时经过路口的车辆，随机变量是个描述，而不是方程中的变量。



随机变量有两种，一种是离散的（discrete），一种是连续的（continue）。离散的如上面例子是可以枚举，而连续的随机变量的取值是infinite的。

概率密度函数

概率probability，以roll dice为例，P(X=6)=1/6，P(X>=5)=1/3，即6点的骰子概率为1/6，大于等于5点的骰子概率为1/3。这是离散的概率例子。



对于连续的，例如明天雨量。使用的是probability density function，下图是个分布例子。



P(X=2)是多少，0.5吗？不对。精确雨量要2.00000……，概率为0。对于连续随机变量，概率的统计是一个范围，例如P(|X-2|<0.3)，相当于计算area。以f(x)表示随机variable，则为



二项分布

二项分布binomial distribution，有个更熟悉的名字normal distribution正态分布。随机变量处于两种状态，例如硬币的正面或反面，投篮投中或者miss。如果是公平随机，例如抛硬币，每个状态出现的几率是0.5。对于投篮，可能是P（shoot）=0.7，P（miss）=0.3。

如何计算P（X=n），n为出现某种状态的次数。假设一共投篮N次篮（N=6），有多少种可能组合，例如出现2次命中的组合。简单说我们有A、B两个字母，填入6个空格，可以有多少种组合。为6×5，如果有A、B、C三个字母，则有6×5×4，即N！/（N-n）！

由于在计算概率中，A和B的先后顺序没有影响，即无先后顺序，则还要除以n！（A、B或A、B、C本身的排列组合），在组合中表述为：



我们得到了组合次数，每个组合出现的概率是多少？投6中2为P(shoot)p(shoot)p(miss)p(miss)p(miss)p(miss)，将每个位置出现的概率乘前来就可以，即p^n×（1-p)^(N-n)，总的概率为：



其实倒不需要去死记硬背，只要知晓计算原理，很容易推导。

这些概率非常适合在Excel中进行计算和画图。在Excel有个小技巧我一直不会，如果固定选某个单元，选择后用F4，在copy这个公式的时候，就不会飘移位置。

期望值E(X)

期望值Exptected value of a random varaible，实际就是population mean，有些时候总本是infinite，例如无数次仍投硬币的结果，可通过频率×数值求和获得。

二项分布的E(X)

如果是二项分布，n表示次数，则E(X)=np，这个推导过程很有趣



二项分布的variance（方差）

和期望值一样，这属于头脑体操，其基本方式亦也差不多。将证明方差为np(1-p)。这部分不是Khan公开课，讲正态分布时涉及二项式方差的计算公式，兴致来了，玩一下。



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