3种方法求解斐波那契数列

题目：定义Fibonacci数列如下：



分析1：看到斐波那契数列几乎所有的程序员在第一时间的反应都是“递归”，没错了，作为和汉诺塔一样的经典递归问题，我们几乎毫不犹豫就可以写出如下的代码：

1 #include<iostream>
2 #include<string>
3 using namespace std;
4
5 long Fibonacci(unsigned int n)
6 {
7     if(n == 0)
8         return 0;
9     else if(n == 1)
10         return 1;
11     else
12         return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
13 }
14
15 int main()
16 {
17     cout<<"Enter An N:"<<endl;
18     unsigned int number=0;
19     cin>>number;
20     cout<<Fibonacci(number)<<endl;
21     return 0;
22 }

然而我们不禁要问：虽然用这道题使得递归变得容易理解，那么这道题用递归是最好的吗？我们用计算f(10)来说明：



从图中可以看出：在计算F(10)要计算F(9)和F(8)，二要计算F(9)，又要计算F(8)，以此类推，要计算很多重复的值，这样就浪费了时间，而计算重复值的数量随着N值而急剧增大，事实上该算法的时间复杂度随着n值呈指数增长。不信，大家可以取N=100看看递归要慢到什么程度。

分析2：既然上面算法的主要缺点是要重复的计算很多不必要的数值，那么我们的想法是不计算那些重复的值，我们考虑对于任意一个N值，我们从第一项开始，不断的累积下去，这样就可以避免重复计算。由于是从第一项逐次求解，所以该算法的时间复杂度为O(n)。代码如下：

1 #include<iostream>
2 #include<string>
3 using namespace std;
4
5 long Fibonacci(unsigned int n)
6 {
7     if(n == 0)
8         return 0;
9     if(n == 1)
10         return 1;
11     long firstItem = 0;
12     long secondItem = 1;
13     long fib = 0;
14     unsigned int cnt = 1;
15     while(cnt < n)
16     {
17         fib = firstItem + secondItem;
18         firstItem = secondItem;
19         secondItem = fib;
20         ++cnt;
21     }
22     return fib;
23 }
24
25 int main()
26 {
27     cout<<"Enter A Number:"<<endl;
28     unsigned int number;
29     cin>>number;
30     cout<<Fibonacci(number)<<endl;
31     return 0;
32 }

分析3：最后介绍一种效率最高的算法O(logn)，首先我们有下面的数学公式：



我们可以用数学归纳法证明如下：

Step1: n=2时



Step2：设n=k时，公式成立，则有：



等式两边同乘以[1,1;1,0]矩阵可得：



左=右，这正是n=k+1时的形式，即当n=k+1时等式成立。

由Step1和Step2可知，该数学公式成立。

由此可以知道该问题转化为计算右边矩阵的n-1幂问题。

我们利用分治的算法思想可以考虑如下求解一个数A的幂。



实现这种算法需要定义矩阵，以及矩阵的有关运算，具体代码如下：

1 #include<iostream>
2 #include<string>
3 using namespace std;
4
5 //定义2×2矩阵；
6 struct Matrix2by2
7 {
8     //构造函数
9     Matrix2by2
10     (
11         long m_00,
12         long m_01,
13         long m_10,
14         long m_11
15     )
16     :m00(m_00),m01(m_01),m10(m_10),m11(m_11)
17     {
18     }
19
20     //数据成员
21     long m00;
22     long m01;
23     long m10;
24     long m11;
25 };
26
27 //定义2×2矩阵的乘法运算
28 Matrix2by2 MatrixMultiply(const Matrix2by2& matrix1,const Matrix2by2& matrix2)
29 {
30     Matrix2by2 matrix12(1,1,1,0);
31     matrix12.m00 = matrix1.m00 * matrix2.m00 + matrix1.m01 * matrix2.m10;
32     matrix12.m01 = matrix1.m00 * matrix2.m01 + matrix1.m01 * matrix2.m11;
33     matrix12.m10 = matrix1.m10 * matrix2.m00 + matrix1.m11 * matrix2.m10;
34     matrix12.m11 = matrix1.m10 * matrix2.m01 + matrix1.m11 * matrix2.m11;
35     return matrix12;
36
37 }
38
39
40 //定义2×2矩阵的幂运算
41 Matrix2by2 MatrixPower(unsigned int n)
42 {
43     Matrix2by2 matrix(1,1,1,0);
44     if(n == 1)
45     {
46         matrix = Matrix2by2(1,1,1,0);
47     }
48     else if(n % 2 == 0)
49     {
50         matrix = MatrixPower(n / 2);
51         matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
52     }
53     else if(n % 2 == 1)
54     {
55         matrix = MatrixPower((n-1) / 2);
56         matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
57         matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2by2(1,1,1,0));
58     }
59     return matrix;
60 }
61 //计算Fibnacci的第n项
62 long Fibonacci(unsigned int n)
63 {
64     if(n == 0)
65         return 0;
66     if(n == 1)
67         return 1;
68
69     Matrix2by2 fibMatrix = MatrixPower(n-1);
70     return fibMatrix.m00;
71
72 }
73
74 int main()
75 {
76     cout<<"Enter A Number:"<<endl;
77     unsigned int number;
78     cin>>number;
79     cout<<Fibonacci(number)<<endl;
80     return 0;
81 }

参考文献：

微软、Google等面试题：http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174200722991933440/

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