和为n的连续正数序列

【题 目】输入一个整数，输出所有和为n的连续正数序列。例如：输入15，由于15=7+8=4+5+6=1+2+3+4+5，所以输出的序列为『1，2，3，4，5』；『4，5，6』，『7，8』三个。

【思路1】从等差数列的观点考虑：如果有一列数满足i+(i+1)+...+j=n,根据等差数列的求和公式，我们容易得到：(i+j)(j-i+1)/2=n,即(i+j)(j-i+1)=2n,由于i，j均为正整数，我们容易得到(i+j),(j-i+1)也都为正整数，所以都是2n的因子，我们就可以从2到sqrt（2n）遍历2n的所有因子，对于其中的因子k，我们有：



　　我们只需要保证j，i的值都为整数，并且i<ｊ即可。根据这种思路我们有如下的代码：

1 #include<iostream>
2 #include<string>
3 #include<cmath>
4 using namespace std;
5
6 void FindContinuousSequence(int n)
7 {
8     int half = (int)(sqrt(2*n));
9     for(int k = 2;k <= half;++k)
10     {
11         //找到因子k
12         if((2*n) % k == 0)
13         {
14             int temp1 = 2 * n - k*k + k;
15             int temp2 = 2 * n + k*k - k;
16
17             //开始数start，结束数end都为整数
18             if(temp1 % (2*k) == 0 && temp2 % (2*k) == 0)
19             {
20                 int start = temp1 / (2*k);
21                 int end = temp2 / (2*k);
22
23                 //打印从start到end之间的所有数
24                 for(int i = start;i <= end;++i)
25                     cout<<i<<"\t";
26
27                 cout<<endl;
28             }
29         }
30     }
31 }
32
33 int main()
34 {
35     cout<<"Enter your Number:"<<endl;
36     int number = 0;
37     cin >>number;
38
39     cout<<"the sum equals your number is:"<<endl;
40     FindContinuousSequence(number);
41     return 0;
42 }

　　运行结果如下：



　　容易看出，这种算法需要遍历的范围是从２—sqrt(2n)，因而时间复杂度为O(sqrt(n))，效率还算是比较高的，然而缺点是要计算很多的乘除，乘方运算，对于n值较大输入，计算过程会相对较慢。

【思路2】我们从另一角度考虑这个问题，我们根据【算法10】中从两端想中间夹逼求解的基本思想，可以这样考虑：我们用一个small指示序列中最小值，用big指示序列中的最大值，因为和为n的序列至少需要两个数字，因而small取值从1到中点；如果small+big<n，就让big后移，以此增大sum；而如果small+big>n，就让small前移，以此缩小sum；如果small+big==n，打印从small到big之间的所有值即可。基于这种思路的代码为：

1 #include<iostream>
2 #include<string>
3 using namespace std;
4
5 void FindContinuousNumbers(int n)
6 {
7     int small = 1;
8     int big = 2;
9     int middle = (n + 1)/2;
10     int sum = small + big;
11     while(small < middle)
12     {
13         if(sum == n)
14         {
15             for(int i = small;i <= big;++i)
16                 cout<<i<<"\t";
17             cout<<endl;
18         }
19
20         while(sum > n)
21         {
22             sum -=small;
23             small++;
24
25             if(sum == n)
26             {
27                 for(int i = small;i <= big;++i)
28                     cout<<i<<"\t";
29
30                 cout<<endl;
31             }
32
33         }
34
35         big++;
36         sum += big;
37     }
38 }
39
40 int main()
41 {
42     cout<<"Enter your Number:"<<endl;
43     int number = 0;
44     cin>>number;
45
46     cout<<"The sum equals your number is as following:"<<endl;
47     FindContinuousNumbers(number);
48
49     return 0;
50 }

　　运行结果如下图：



　　效率分析：small指针要从1开始遍历到middle，而big指针则对于每一个small指针一直往前遍历，不存在指指针回溯的情况，因而整个算法的时间复杂度为O(N)，效率较之前的算法的低，然而所有的操作都是简单的加减法，相比之前需要大量的乘法运算是一个优势。

References:

何海涛博客：http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174200732711051101/

注：

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