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欧几里德最大公约数算法正确性的一次简单分析

2012-06-17 13:32 253 查看

依旧先摆出算法代码：

intget_common_divisor(inta,intb)

intx=a;

inty=b;

intm=0;

while(y>0)

m=x%y;

x=y;

y=m;

returnx;

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欧几里德求最大公约数的原理为：

计A,B两数最大公约数为Gcd(A,B),则Gcd(A,B)=Gcd(B,AModB)=Gcd(AModeB,BMod(AModB))…公式(1)

即两数的最大公约等于第二数和两数余数的最大公约，其值为公式(1)循环最后余数为0之前的那次余数值。

现在给出命题：

求证欧几里德求最大公约数的正确性。

证明：

只讨论A>B的情形，因为B>A时将在第一次模运算之后（line9）将二者位置翻转，仍然变成符合x>y的情形。

一种很明显的情形是A是B的倍数，则B显然是最大公约数，这符合Gcd(A,B)=Gcd(B,0)=B，这里利用了一个定理：任何数都是0的公约数。

现把A与B的求余运算改成形式A=Bk+m，显然此处默认B>m求k>=1.记为公式(2)

不妨取A,B最大公约数存在且为G.则A，B分别可以写成含最大公约数的因式A=G*T1，B=G*T2;记为公式(3)

公式(3)代入公式(2),A=Bk+m推导出G*T1=G*T2*k+m,m=G*(T1-T2*k);显然我们得出一个结论:余数m必然包含最大公约数G,

而每一次循环求余都将导致下一次的余数在不断减小，这是一个必然的事实，而另一个事实是余数若不呗整除则必然是正整数并渐小，而正整数的余数渐小若一直没有被整除则必然趋于1，而1能被任何数整除也是任何数的公约数，如果该减小的余数在某一步被整除了，则这个余数恰是自己和被除数的最大公约数，也即A，B的最大公约数。

不妨另循环求余中所有的余数取值为{m1,m2,…,mk,0},很显然由上述推理mk就是我们所要求的最大公约数。

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