N个平面可以把空间分成几部分

在立体几何的中有一个问题：“3个相互平行的平面可将空间分成几部分？”正确的解答：“4个部分.”接着提出：“3个平面可将空间分成几部分？”的问题，由于去掉了“相互平行”的条件，这个问题必须分类讨论回答.

当3个平面相互平行时，分空间为4个部分；

当有且仅有两个平面平行时，分空间为6个部分；

当3个平面两两相交于一条直线时，分空间为6个部分；

当3个平面两两相交，3条交线不交于同一点时，分空间为7个部分；

当3个平面两两相交，3条交线交于一点时，分空间为8个部分.

于是我们得出“3个平面最多可将空间分为8个部分”的结论.在这一背景下，提出了值得深入研究的新课题：“4个平面最多可将空间分为多少部分？n个平面又将空间最多分成多少部分？”

对“4个平面最多可以把空间分成多少部分”的研究取得成功的方法是多样的，可以采取作图直观计数，可以采用以三棱锥为载体计数，可以采用递推分析.不妨将第二种方法作一个简单介绍：三棱锥的4个面延展后就成了4个平面两两相交，且交线互不平行，每3个平面相交于一点，4个交点就是三棱锥的4个顶点.每个顶点各自“对着”一部分空间，4个顶点，6条棱，4个面“对着”14个部分空间，但4个面中间围了一部分空间，所以4个平面最多可将空间分成15个部分.

但用类似的方法却不能解决n个平面分空间的问题.但是我们采用实验、观察、归纳的方法得出了n个平面最多可以将空间分为

部分.

我们的探索过程是这样的：1个点最多将1条直线分为2部分，2个点分为3部分，3个点分为4部分……；l条直线最多将平面分为2部分，2条直线分为4部分，3条直线分为7部分……；1个平面最多将空间分为2部分，2个平面分成4部分，3个平面分为8部分……通过列表、观察、归纳，得出了一个递推关系，于是推得结论.

这是一个与自然数n有关的数学命题，它的证明要用到数学归纳法



特别地， P(1,n)=n+1，即n个点可把一条直线（一维空间）最多分成n+1部分；


，即n条直线可把一个平面（二维空间）最多分成

部分；

，即n个平面可把一个空间（三维空间）最多分成

部分.

简单的概括就是

n个点最多把直线分成C(n,0)+C(n,1)份；

n条直线最多把平面分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)份；

n个平面最多把空间分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)=(n³+5n+6)/6份；

n个空间最多把“时空”分成C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+C(n,4)份；

……