编程之美：计算两个字符串的相似度---动态规划实现

问题描述：

把两个字符串变成相同的基本操作定义如下：

1. 修改一个字符（如把 a 变成 b）

2. 增加一个字符 (如 abed 变成 abedd)

3. 删除一个字符（如 jackbllog 变成 jackblog）

针对于 jackbllog到jackblog 只需要删除一个或增加一个 l 就可以把两个字符串变为相同。把这种操作需要的次数定义为两个字符串的距离 L, 则相似度定义为1/(L+1) 即距离加一的倒数。那么jackbllog和jackblog的相似度为 1/1+1=1/2=0.5 也就是所两个字符串的相似度是 0.5。

给定任意两个字符串，你是否写出一个是否来计算出它们的相识度。

分析题目：本题是一个多级阶段的决策问题，每个阶段的最优选择会受到前面最优选择的影响，我们可以利用动态规划来实现，1，定义一个子问题，2，确定子问题最优解的堆叠方式。

以本题为例，假设source字符串有n个字符，target字符串有m个字符，如果将问题定义为求解将source的1－n个字符转换为target的1－m个字符所需要的最少编辑次数（最小编辑距离），则其子问题就可以定义为将source的1－i个字符转换为target的1－j个字符所需要的最少编辑次数，这就是本问题的最优子结构。我们用d[i, j]表示source[1..i]到target[1..j]之间的最小编辑距离，则计算d[i, j]的递推关系可以这样计算出来：

如果source[i] 等于target[j]，则：

d[i, j] = d[i-1, j-1] + 0 （递推式 1）

如果source[i] 不等于target[j]，则根据插入、删除和替换三个策略，分别计算出使用三种策略得到的编辑距离，然后取最小的一个：

d[i, j] = min(d[i, j - 1] + 1，d[i - 1, j] + 1，d[i - 1, j - 1] + 1 ) （递推式 2）

d[i, j - 1] + 1 表示对source[i]执行插入操作后计算最小编辑距离

d[i - 1, j] + 1 表示对source[i]执行删除操作后计算最小编辑距离

d[i - 1, j - 1] + 1表示对source[i]替换成target[i]操作后计算最小编辑距离

d[i, j]的边界值就是当target为空字符串（m = 0）或source为空字符串（n = 0）时所计算出的编辑距离：

m = 0，对于所有 i：d[i, 0] = i

n = 0，对于所有 j：d[0, j] = j

根据前面分析的最优子结构、最优解的递推关系以及边界值，写出用动态规划法求解最小编辑距离的算法就很容易了，以下代码就是计算两个字符串的最小编辑距离的算法实现：

public class StringSimilar {
public int fun(String source,String target){
int i,j;
int[][] d = new int[source.length()+1][target.length()+1];
for(i=1;i<source.length()+1;i++){/*初始化临界值*/
d[i][0]=i;
}
for(j=1;j<target.length()+1;j++){/*初始化临界值*/
d[0][j]=j;
}
for(i=1;i<source.length()+1;i++){/*动态规划填表*/
for(j=1;j<target.length()+1;j++){
if(source.substring(i-1, i).equals(target.substring(j-1, j))){
d[i][j]=d[i-1][j-1];/*source的第i个和target的第j个相同时*/
}else{/*不同的时候则取三种操作最小的一个*/
d[i][j]=min(d[i][j-1]+1,d[i-1][j]+1,d[i-1][j-1]+1);
}
}
}
return d[source.length()][target.length()];
}
private int min(int i, int j, int k) {
int min = i<j?i:j;
min = min<k?min:k;
return min;
}
public static void main(String[] args) {
StringSimilar ss = new StringSimilar();
System.out.println(ss.fun("SNOWY", "SUNNY"));//3
System.out.println(ss.fun("a", "b"));//1
System.out.println(ss.fun("abdd", "aebdd"));//1
System.out.println(ss.fun("travelling", "traveling"));//1
}
}

注解：

【1】最优子结构：对于多阶段决策问题，如果每一个阶段的最优决策序列的子序列也是最优的，且决策序列具有“无后效性”，就可以将此决策方法理解为最优子结构。

【2】无后效性：动态规划法的最优解通常是由一系列最优决策组成的决策序列，最优子结构就是这些最优决策序列中的一个子序列，对于每个子序列再做最优决策会产生新的最优决策（子）序列，如果某个决策只受当前最优决策子序列的影响，而不受当前决策可能产生的新的最优决策子序列的影响，则可以理解这个最优决策具有无后效性。