积最大的整数分解

1.问题描述

把2010分解为若干个互不相同的正整数之和，使这些互不相同的正整数之积最大。

2.设计要点

进行一般化处理，把指定正整数n分解为若干个互不相同的正整数之和，使这些互不相同的正整数之积最大。

设使积最大的化零分解中，最小零数为c，最大零数为d。

⑴c>1。若c=1，去掉零数1，把1加至最大零数，显然积会增大。

⑵零数按由小到大排列，从c到d的零数序列中，中间的空数（不在零数序列中的数）不能多于1个。

设序列中有两个空数x、y，满足a(i)<x<y<a(j)，其中a(i)、a(j)为零数序列中的项(i<j)，x=a(i)+1，y=a(j)-1。因a(i)+a(j)=x+y，而

a(j)>a(i)+1 => x*y = (a(i)+1)*(a(j)-1) > a(i)*a(j)

即把a(i)、a(j)两个零数分别换成x、y后，和不变而积增加，与所设各人最大矛盾。

⑶c<4，即c只能取2、3。

若c=4，此时若5在序列中，把5化为2+3，积增加；若5不在序列中而6在序列中，把4、6化为2、3、5，显然和不变而积增加；若5、6都不在序列中，与上述⑵矛盾。

若c>4，把c化为2与c-2，显然2(c-2)>c，积增加。

因此，把指定的n转化为以2或3开始的连续的或至多一个空数的正整数序列，相应的积达最大。

3.代码实现

#include "stdafx.h"
#include <math.h>

// 积最大的整数分解程序设计
int main(void)
{
int a, c, d, h, k, n, s;
double t;

printf("把正整数n分解为若干个互不相同的正数数之和，使积最大。/n");
printf("请输入正整数n：");
scanf("%d", &n);

s = 0; h = 0; a = 1;
while (s <= n) {	// 此时s-n可能为1,2,...,a
a++;
s += a;
}
if (s - n == a) {	// n分解为2至a-1的连续序列
c = 2;
d = a - 1;
}
else if (s - n == 2) {	// n分解为3至a的连续序列
c = 3;
d = a;
}
else if (s - n == 1) {	// n分解为3至a+1（不含a）
c = 3;
d = a + 1;
h = a;
}
else {					// n分解为2至a（不含s-n）
c = 2;
d = a;
h = s - n;
}

printf("%d分解为：%d--%d", n, c, d);
if (h > 0)
printf("（不包含其中的数%d）", h);
printf("/n其积最大为：");
t = 1;
for (k = c; k <= d; k++)
t *= k;
if (h > 0)
t /= h;

printf("%.0f/n", t);

return 0;
}