插入r个乘号问题的动态规划求解

利用穷举法求解法插入4个乘号请访问：http://www.vcworld.net/bbs/viewthread.php?tid=8580&extra=

一、问题提出

在一个由n个数字组成的数字串中插入r个乘号（1<=r<n<16)，将它分成r+1个整数，找出一种乘号的插入方法，使得r+1个整数的乘积最大。

例如，对给定的数串847313926，如何插入r=5个乘号，使其积最大？

二、动态规划设计

对于一般插入r个乘号，采用穷举已不适合。注意到插入r个乘号是一个多阶段决策问题，应用动态规划来求解是适宜的。

1.建立递推关系

设f(i,k)表示在前i位数中插入k个乘号所得乘积的最大值，a(i,j)表示从第i个数字到第j个数字所组成的j-i+1(i<=j)位整数值。

为了寻求递推关系，先看一个实例：对给定的847313926，如何插入r=5个乘号，使其乘积最大？我们的目标是为了求取最优值f(9,5)。

①设前8个数字中已插入4个乘号，则最大乘积为f(8,4)*6；

②设前7个数字中已插入4个乘号，则最大乘积为f(7,4)*26；

③设前6个数字中已插入4个乘号，则最大乘积为f(6,4)*926；

④设前5个数字中已插入4个乘号，则最大乘积为f(5,4)*3926；

比较最大值即为f(9,5)。

依此类推，为了求f(8,4)：

①设前7个数字中已插入3个乘号，则最大乘积为f(7,3)*2；

②设前6个数字中已插入3个乘号，则最大乘积为f(6,3)*92；

③设前5个数字中已插入3个乘号，则最大乘积为f(5,3)*392；

④设前4个数字中已插入3个乘号，则最大乘积为f(4,3)*1392；

比较以上4个数值的最大值即为f(8,4)。

一般地，为了求取f(i,k)，考察数字串的前i个数字，设前j(k<=j<i)个数字中已插入k-1个乘号的基础上，在第j个数字后插入第t个乘号，显然此时的最大乘积为f(j,k-1)*a(j+1,i)。于是可以得递推关系式：

f(i,k)=max(f(j,k-1)*a(j+1, i)) (k<=j<i)

前j个数字没有插入乘号时的值显然为前j个数字组成的整数，因而得边界值为：

f(j,0)=a(1,j) (1<=j<=i)

为简单计，在程序设计中省略a数组，用变量d替代。

2.递推计算最优值

for (d = 0, j = 1; j <= n; j++) {
d = d * 10 + b[j - 1];	// 输入数字串每一位赋值给b数组
f[j][0] = d;			// 计算初始值f[j][0]
}

for (k = 1; k <= r; k++)
{
for (i = k + 1; i <= n; i++)
for (j = k; j < i; j++) {
for (d = 0, u = j + 1; u <= i; u++)
d = d * 10 + b[u - 1];	// 计算d即为a(j+1,i)
if (f[i][k] < f[j][k - 1] * d)	// 递推求取f[i][k]
f[i][k] = f[j][k - 1] * d;
}
}

3.构造最优解

为了能打印相应的插入乘号的乘积式，设置标注位置的数组t(k)与c(i,k)，其中c(i,k)为相应的f(i,k)的第k个乘号的位置，而t(k)标明第k个乘号“*”的位置，例如，t(2)=3，表示第2个“*”号在第3个数字后面。

当给数组元素赋值f(i,k)=f(j,k-1)*d时，作相应赋值c(i,k)=j，表示f(i,k)的第k个乘号的位置是j。在求得f(n,r)的第r个乘号位置t(r)=c(n,r)=j的基础上，其他t(k) (1<=k<=r-1)可应用下式逆推产生：

t(k)=c(t(k+1),k)

根据t数组的值，可直接按字符形式打印表面积所求得的插入乘号的乘积式。

三、程序实现

// 在一个数中插入r个乘号，使其积最大
// 利用动态规划求解
#include <stdio.h>
#include <string.h>

int main()
{
char numStr[16];
int i, j, k, len, u, r, b[16], t[16], c[16][16];
double f[17][17], d;

printf("请输入整数：");
scanf("%s", numStr);
printf("请输入插入的乘号个数r: ");
scanf("%d", &r);
len = strlen(numStr);
if (len <= r) {
printf("输入的整数位够数不够或r太大!/n");
return 0;
}

printf("在整数%s中插入%d个乘号，使乘积最大：/n", numStr, r);
for (d = 0, j = 0; j <= len - 1; j++)
b[j] = numStr[j] - '0';
for (d = 0, j = 1; j <= len; j++) {
d = d * 10 + b[j - 1];	// 把b数组的一个字符转化为数值
f[j][0] = d;			// f[j][0]赋初始值
}

for (k = 1; k <= r; k++)
for (i = k + 1; i <= len; i++)
for (j = k; j < i; j++) {
for (d = 0, u = j + 1; u <= i; u++)
d = d * 10 + b[u - 1];
if (f[i][k] < f[j][k - 1] * d) {
f[i][k] = f[j][k - 1] * d;
c[i][k] = j;
}
}

t[r] = c[len][r];
for (k = r - 1; k >= 1; k--)
t[k] = c[t[k + 1]][k];		// 逆推出第k个*号的位置
t[0] = 0; t[r + 1] = len;
for (k = 1; k <= r + 1; k++) {
for (u = t[k - 1] + 1; u <= t[k]; u++)
putchar(numStr[u - 1]);	// 输出最优解
if (k < r + 1)
putchar('*');
}
printf("=%.0f/n", f[len][r]);		// 输出最优值

return 0;
}

选自《趣味C程序集锦》

// 在一个数中插入r个乘号，使其积最大
// 利用动态规划求解
#include <stdio.h>
#include <string.h>

const int maxn = 41;
int n[maxn], len;

// nt...nz整数的合成
long nn(int t, int z)
{
int i;
long a = n[t];

for (i = t + 1; i <= z; i++)
a = a * 10 + n[i];

return a;
}

int main(void)
{
int i, N, c, k, t;
long num, f[maxn][maxn];
char s[maxn];

scanf("%d%d", &N, &c);
scanf("%s", s);
len = strlen(s);
for (i = 0; i < len; i++)
n[i] = s[i] - '0';
k = 0;
f[0][0] = n[0];
for (i = 1; i < len; i++)
f[i][0] = f[i - 1][0] * 10 + n[i];
k = 1;
for (k = 1; k <= c; k++) {
for (i = k; i < len; i++) {
long a = -1;
for (t = k - 1; t < i; t++) {
num = nn(t + 1, i);
long b = f[t][k - 1] * num;
if (a < b)
a = b;
}
f[i][k] = a;
}
}
printf("%d/n", f[len - 1][c]);

return 0;
}

选自《ACM/ICPC程序设计分析》