关于棋盘马走“日”字问题的回溯算法实现

1. 回溯法基本思想

回溯法是在包含问题的所有解得解空间树(或森林)中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。
算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否满足问题的约束条件。如果满足进入该子树，继续
按照深度优先的策略进行搜索。否则，不去搜索以该结点为根的子树，而是逐层向其祖先结点回溯。

回溯法在用来求解问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都已被搜索遍才结束。而回溯法
在用来求解问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。适用于解决一些最优化问题。

2. 算法设计过程

(1) 确定问题的解空间

应用回溯法解决问题时，首先应明确定义问题的解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个最优解。

(2) 确定结点的扩展规则

约束条件。

(3) 搜索解空间

回溯算法从开始结点(根结点)出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也
成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并
成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应该往回
移动(回溯)至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中
搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。

3. 算法框架

(1) 问题框架

设问题的解是一个n维向量(a1,a2,...,an),约束条件是ai(i1,2,...,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。

(2) 非递归回溯框架

int a
, i;
i=1;

while(i>0(有路可走) and [未达到目标]){ //还未回溯到头
if(i>n){ //搜索到叶结点
搜索到一个解，输出；
}else{
a[i]第一个可能的值；
while(a[i]不满足约束条件且在搜索空间内)
a[i]下一可能的值；
if(a[i]在搜索空间内){
标识占用的资源；
i = i+1; //扩展下一个结点
}else{
清理所占的状态空间；
i = i-1; //回溯
}
}
}

(3)递归算法框架

int a
;
try(int i){
if(i>n){
输出结果；
}else{
for(j=下界; j<=上界; j++){//枚举i所有可能的路径
if(f(j)){ //满足限界函数和约束条件
a[i] = j;
... //其他操作
try(i+1);
a[i] = 0; //回溯前的清理工作(如a[i]置空)
}
}
}
}

4. 一个例子

(1) 问题描述

马的遍历问题。
在n*m的棋盘中，马只能走"日"字。马从位置(x,y)出发，把棋盘的每一格都走一次且只走一次。找出所有路径。

(2) 问题分析

马是在棋盘的点上行走的，所以这里的棋盘是指行有N条边、列有M条边。而一个马在不出边界的情况下有8个方向
可以行走(走"日"字)，如当前坐标为(x,y)，则行走后的坐标可以为:
(x+1, y+2)
(x+1, y-2)
(x+2, y+1)
(x+2, y-1)
(x-1, y-2)
(x-1, y+2)
(x-2, y-1)
(x-2, y+1)

搜索的解空间是整个棋盘上的n*m个点。
约束条件是不出边界且每个点只经过一次。
搜索过程是从任一点(x,y)出发，按照深度优先的原则，从8个方向中尝试一个可以走的点，直到走过棋盘上所有
n*m个点。

5. Java代码实现

Java代码



package test;

/**

* create on 2010.05.21 TODO 回溯算法

*

* @author 毛正吉

* @version v1.0

*

*/

public class RecollectionSearch {

/**

* @param args

*/

public static void main(String[] args) {

// 注意(0<=x<n && 0<=y<m)

int n = 5;

int m = 4;

int x = 0;

int y = 0;

RecollectionSearch rs = new RecollectionSearch(n, m, x, y);

rs.find(x, y, 2);

System.out.println("######################");

System.out.println("总解数count=" + rs.getCount());

System.out.println("######################");

}

// 棋盘行数

private int n;

// 棋盘列数

private int m;

// 马的起始x坐标

private int x;

// 马的起始y坐标

private int y;

// 棋盘坐标

private int[][] a;

// 求解总数

private int count;

// "日"子x坐标

public int[] fx = { 1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1 };

// "日"子y坐标

public int[] fy = { 2, 1, -1, -2, -2, -1, 1, 2 };

/**

* 构造方法

*

* @param _n

* @param _m

* @param _x

* @param _y

*/

public RecollectionSearch(int _n, int _m, int _x, int _y) {

n = _n;

m = _m;

x = _x;

y = _y;

a = new int
[m];

for (int i = 0; i < n; i++) {

for (int j = 0; j < m; j++) {

a[i][j] = 0;

}

}

// 马的起点

a[x][y] = 1;

count = 0;

}

public void find(int x, int y, int dep) {

int i, xx, yy;

for (i = 0; i < 7; i++) {

xx = x + fx[i];

yy = y + fy[i];

// 判断新坐标是否出界，是否已走过

if (check(xx, yy) == 1) {

a[xx][yy] = dep;

if (dep == n * m) {

output();

} else {

// 从新坐标出发，递归下一层

find(xx, yy, dep + 1);

}

// 回溯，恢复未走标志

a[xx][yy] = 0;

}

}

}

/**

* 判断新坐标是否出界，是否已走过

*

* @param xx

* @param yy

* @return

*/

public int check(int xx, int yy) {

if (xx >= n || yy >= m || xx < 0 || yy < 0 || a[xx][yy] != 0) {

return 0;

}

return 1;

}

/**

* 输出结果

*/

public void output() {

count++;

System.out.println("count=" + count);

for (int y = 0; y < n; y++) {

System.out.println("");

for (int x = 0; x < m; x++) {

System.out.print(a[y][x] + " ");

}

}

System.out.println("");

}

public int getN() {

return n;

}

public void setN(int n) {

this.n = n;

}

public int getM() {

return m;

}

public void setM(int m) {

this.m = m;

}

public int getCount() {

return count;

}

public void setCount(int count) {

this.count = count;

}

public int getX() {

return x;

}

public void setX(int x) {

this.x = x;

}

public int getY() {

return y;

}

public void setY(int y) {

this.y = y;

}

}