最大子矩阵问题

http://www.cnblogs.com/fll/archive/2008/05/17/1201543.html

 

最大子矩阵问题：

问题描述：(具体见http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1050
)

   给定一个n*n(0<n<=100)的矩阵，请找到此矩阵的一个子矩阵，并且此子矩阵的各个元素的和最大，输出这个最大的值。

Example：

 0 -2 -7  0

 9  2 -6  2

-4  1 -4  1

-1  8  0 -2

其中左上角的子矩阵：

 9 2

-4 1

-1 8

此子矩阵的值为9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。

  我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵，然而一个n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2)，显然此方法不可行。

  怎么使得问题的复杂度降低呢？对了，相信大家应该知道了，用动态规划。对于此题，怎么使用动态规划呢？

  让我们先来看另外的一个问题(最大子段和问题)：

    给定一个长度为n的一维数组a，请找出此数组的一个子数组,使得此子数组的和sum＝a[i]+a[i+1]+……+a[j]最大，其中i>=0,i<n,j>=i,j<n，例如

   31 -41 59 26 -53  58 97 -93 -23 84

 子矩阵59+26-53+58+97=187为所求的最大子数组。

第一种方法－直接穷举法:

   maxsofar=0;

   for i = 0 to n

   {

       for  j = i to n

       {

            sum=0;

            for k=i to j

                sum+=a[k]

            if (maxsofar>sum)

               maxsofar=sum;

       }

   }

第二种方法－带记忆的递推法：

   cumarr[0]=a[0]

   for i=1 to n      //首先生成一些部分和

   {

        cumarr[i]=cumarr[i-1]+a[i];      

   }

   maxsofar=0

   for i=0 to n

   {

       for  j=i to n     //下面通过已有的和递推

       {

           sum=cumarr[j]-cumarr[i-1]

           if(sum>maxsofar)

               maxsofar=sum

       }

   }

显然第二种方法比第一种方法有所改进，时间复杂度为O(n*n)。

下
面我们来分析一下最大子段和的子结构，令b[j]表示从a[0]~a[j]的最大子段和，b[j]的当前值只有两种情况，(1)
最大子段一直连续到a[j]  (2)
以a[j]为起点的子段，不知有没有读者注意到还有一种情况，那就是最大字段没有包含a[j]，如果没有包含a[j]的话，那么在算b[j]之前的时候我
们已经算出来了，注意我们只是算到位置为j的地方，所以最大子断在a[j]后面的情况我们可以暂时不考虑。

由此我们得出b[j]的状态转移方程为：b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},

所求的最大子断和为max{b[j],0<=j<n}。进一步我们可以将b[]数组用一个变量代替。

得出的算法如下：

    int maxSubArray(int n,int a[])

    {

        int b=0,sum=-10000000;

        for(int i=0;i<n;i++)

        {

             if(b>0) b+=a[i];

             else b=a[i];

             if(b>sum) sum=b;  

        }

        return sum;

    }

这就是第三种方法－动态规划。

  现在回到我们的最初的最大子矩阵的问题,这个问题与上面所提到的最大子断有什么联系呢？

  假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵，如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始)：

  | a11 …… a1i ……a1j ……a1n |

  | a21 …… a2i ……a2j ……a2n |

  |  .     .     .    .    .     .    .   |

  |  .     .     .    .    .     .    .   |

  | ar1 …… ari ……arj ……arn |

  |  .     .     .    .    .     .    .   |

  |  .     .     .    .    .     .    .   |

  | ak1 …… aki ……akj ……akn |

  |  .     .     .    .    .     .    .   |

  | an1 …… ani ……anj ……ann |

 那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来，可以得到一个一维数组如下：

 (ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)

 由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子断和问题，到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。

此题的详细解答如下(Java描述):

import java.util.Scanner;

public class PKU_1050

{

     private int maxSubArray(int n,int a[])

      {

            int b=0,sum=-10000000;

            for(int i=0;i<n;i++)

            {

                  if(b>0) b+=a[i];

                  else b=a[i];

                  if(b>sum) sum=b;

            }

            return sum;  

      }

      private int maxSubMatrix(int n,int[][] array)

      {

            int i,j,k,max=0,sum=-100000000;

            int b[]=new int[101];

            for(i=0;i<n;i++)

            {

                  for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]

                  {

                        b[k]=0;

                  }

                  for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值

                  {

                        for(k=0;k<n;k++)

                        {

                              b[k]+=array[j][k];

                        }

                        max=maxSubArray(k,b);  

                        if(max>sum)

                        {

                                sum=max;

                        }

                  }

            }

            return sum;

      }

      public static void main(String args[])

      {

            PKU_1050 p=new PKU_1050();

            Scanner cin=new Scanner(System.in);

            int n=0;

            int[][] array=new int[101][101];

            while(cin.hasNext())

            {

                       n=cin.nextInt();   

                       for(int i=0;i<n;i++)

                       {

                                  for(int j=0;j<n;j++)

                                  {

                                             array[i][j]=cin.nextInt();

                                  }

                       }

                       System.out.println(p.maxSubMatrix(n,array));

            }

      }

}