最大子矩阵问题

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最大子矩阵问题：

问题描述：(具体见http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1050)

给定一个n*n(0<n<=100)的矩阵，请找到此矩阵的一个子矩阵，并且此子矩阵的各个元素的和最大，输出这个最大的值。

Example：

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

其中左上角的子矩阵：

9 2

-4 1

-1 8

此子矩阵的值为9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。

我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵，然而一个n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2)，显然此方法不可行。

怎么使得问题的复杂度降低呢？对了，相信大家应该知道了，用动态规划。对于此题，怎么使用动态规划呢？

让我们先来看另外的一个问题(最大子段和问题)：

给定一个长度为n的一维数组a，请找出此数组的一个子数组,使得此子数组的和sum＝a[i]+a[i+1]+……+a[j]最大，其中i>=0,i<n,j>=i,j<n，例如

31 -41 59 26 -53 58 97 -93 -23 84

子矩阵59+26-53+58+97=187为所求的最大子数组。

第一种方法－直接穷举法:

maxsofar=0;
for i = 0 to n
{
for  j = i to n
{
sum=0;
for k=i to j
sum+=a[k]
if (maxsofar>sum)
maxsofar=sum;
}
}

第二种方法－带记忆的递推法：

cumarr[0]=a[0]
for i=1 to n      //首先生成一些部分和
{
cumarr[i]=cumarr[i-1]+a[i];
}

maxsofar=0
for i=0 to n
{
for  j=i to n     //下面通过已有的和递推
{
sum=cumarr[j]-cumarr[i-1]
if(sum>maxsofar)
maxsofar=sum
}
}

显然第二种方法比第一种方法有所改进，时间复杂度为O(n*n)。

下面我们来分析一下最大子段和的子结构，令b[j]表示从a[0]~a[j]的最大子段和，b[j]的当前值只有两种情况，(1) 最大子段一直连续到a[j] (2) 以a[j]为起点的子段，不知有没有读者注意到还有一种情况，那就是最大字段没有包含a[j]，如果没有包含a[j]的话，那么在算b[j]之前的时候我们已经算出来了，注意我们只是算到位置为j的地方，所以最大子断在a[j]后面的情况我们可以暂时不考虑。

由此我们得出b[j]的状态转移方程为：b[j]=max{b[j-1]+a[j],a[j]},

所求的最大子断和为max{b[j],0<=j<n}。进一步我们可以将b[]数组用一个变量代替。

得出的算法如下：

int maxSubArray(int n,int a[])
{
int b=0,sum=-10000000;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(b>0) b+=a[i];
else b=a[i];
if(b>sum) sum=b;
}
return sum;
}

这就是第三种方法－动态规划。

现在回到我们的最初的最大子矩阵的问题,这个问题与上面所提到的最大子断有什么联系呢？

假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵，如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始)：



那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来，可以得到一个一维数组如下：

(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)

由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子断和问题，到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。

此题的详细解答如下(Java描述):

import java.util.Scanner;
public class PKU_1050
{
private int maxSubArray(int n,int a[])
{
int b=0,sum=-10000000;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(b>0) b+=a[i];
else b=a[i];
if(b>sum) sum=b;
}
return sum;
}
private int maxSubMatrix(int n,int[][] array)
{
int i,j,k,max=0,sum=-100000000;
int b[]=new int[101];
for(i=0;i<n;i++)
{
for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]
{
b[k]=0;
}
for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值
{
for(k=0;k<n;k++)
{
b[k]+=array[j][k];
}
max=maxSubArray(k,b);
if(max>sum)
{
sum=max;
}
}
}
return sum;
}
public static void main(String args[])
{
PKU_1050 p=new PKU_1050();
Scanner cin=new Scanner(System.in);
int n=0;
int[][] array=new int[101][101];
while(cin.hasNext())
{
n=cin.nextInt();
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
array[i][j]=cin.nextInt();
}
}
System.out.println(p.maxSubMatrix(n,array));
}
}
}