【算法设计】最大子矩阵问题

一，最大子矩阵问题：

给定一个n*n(0<n<=100)的矩阵，请找到此矩阵的一个子矩阵，并且此子矩阵的各个元素的和最大，输出这个最大的值。

Example：

0 -2 -7 0

9 2 -6 2

-4 1 -4 1

-1 8 0 -2

其中左上角的子矩阵：

9 2

-4 1

-1 8

此子矩阵的值为9+2+(-4)+1+(-1)+8=15。

二，分析

子矩阵是在矩阵选取部份行、列所组成的新矩阵。

例如





它亦可用A(3;2)表示，显示除掉第3行和第2列的余下的矩阵。这两种方法比较常用，但还是没有标准的方法表示子矩阵。

以上为维基百科上给出的定义，感觉跟此题的定义不是一回事呢？

我们首先想到的方法就是穷举一个矩阵的所有子矩阵，然而一个n*n的矩阵的子矩阵的个数当n比较大时时一个很大的数字 O(n^2*n^2)，显然此方法不可行。怎么使得问题的复杂度降低呢？对了，相信大家应该知道了，用动态规划。对于此题，怎么使用动态规划呢？

请先参考-->最大子段和问题

这个问题与最大子段有什么联系呢？

假设最大子矩阵的结果为从第r行到k行、从第i列到j列的子矩阵，如下所示(ari表示a[r][i],假设数组下标从1开始)：

| a11 …… a1i ……a1j ……a1n |

| a21 …… a2i ……a2j ……a2n |

| . . . . . . . |

| . . . . . . . |

| ar1 …… ari ……arj ……arn |

| . . . . . . . |

| . . . . . . . |

| ak1 …… aki ……akj ……akn |

| . . . . . . . |

| an1 …… ani ……anj ……ann |

那么我们将从第r行到第k行的每一行中相同列的加起来，可以得到一个一维数组如下：

(ar1+……+ak1, ar2+……+ak2, ……,arn+……+akn)

由此我们可以看出最后所求的就是此一维数组的最大子段和问题，到此我们已经将问题转化为上面的已经解决了的问题了。

三，源码

C++:

#include <iostream>
using namespace std;

int maxSubArray(int a[],int n)
{
int b=0,sum=a[0];
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(b>0)
b+=a[i];
else
b=a[i];
if(b>sum)
sum=b;
}
return sum;
}
int maxSubMatrix(int array[][3],int n)
{
int i,j,k,max=0,sum=-100000000;
int b[3];
for(i=0;i<n;i++)
{
for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]
{
b[k]=0;
}
for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值
{
for(k=0;k<n;k++)
{
b[k]+=array[j][k];
}
max=maxSubArray(b,k);
if(max>sum)
{
sum=max;
}
}
}
return sum;
}
int main()
{
int n=3;
int array[3][3]={{1,2,3},{-1,-2,-3},{4,5,6}};

cout<<"MaxSum: "<<maxSubMatrix(array,n)<<endl;

}

java：

import java.util.Scanner;
public class PKU_1050
{
private int maxSubArray(int n,int a[])
{
int b=0,sum=-10000000;
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(b>0)
b+=a[i];
else
b=a[i];
if(b>sum)
sum=b;
}
return sum;
}
private int maxSubMatrix(int n,int[][] array)
{
int i,j,k,max=0,sum=-100000000;
int b[]=new int[101];
for(i=0;i<n;i++)
{
for(k=0;k<n;k++)//初始化b[]
{
b[k]=0;
}
for(j=i;j<n;j++)//把第i行到第j行相加,对每一次相加求出最大值
{
for(k=0;k<n;k++)
{
b[k]+=array[j][k];
}
max=maxSubArray(k,b);
if(max>sum)
{
sum=max;
}
}
}
return sum;
}
public static void main(String args[])
{
PKU_1050 p=new PKU_1050();
Scanner cin=new Scanner(System.in);
int n=0;
int[][] array=new int[101][101];
while(cin.hasNext())
{
n=cin.nextInt();
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
array[i][j]=cin.nextInt();
}
}
System.out.println(p.maxSubMatrix(n,array));
}
}
}