离散数学 第一章 命题逻辑 1-3命题公式与翻译

前面已经提到，不包含任何联结词的命题叫做原子命题，至少包含一个联结词的命题称作复合命题。

设p和q是任意两个命题，则┓p，p∨q，（p∧q）∨（p→q），p«（q∨┓p）等都是复合命题。

若p和q是命题变元，则上述各式均称作命题公式。p和q称作命题公式的分量。

必须注意：命题公式是没有真假值的，仅当在一个公式中命题变元用确定的命题代入时，才得到一个命题。这个命题的真值，以来于代换变元的那些命题的真值。此外，并不是由命题变元，联结词和一些括号组成的字符串都能成为命题公式。

定义1-3.1 命题演算的合式公式（wff），规定为；
(1) 单个命题变元本身是一个合式公式。
(2) 如果a是合式公式，那么┓a是合式公式。
(3) 如果a和b是合式公式，那么（a∧b），（a∨b），（a→b）和（a«b）都是合式公式。
(4) 当且仅当能够有限次地应用（1），（2），（3）所得到的包含命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式。

这个合式公式的定义，是以递归形式给出的，其中（1）称为基础，（2）（3）称为归纳，（4）称为界限。

按照定义，下列公式都是合式公式：

┓（p∧q），┓（p→q），p→（p∨┓q）），

（（（p→q）∧（q→r）«（s«t））

而

（p→q）→（∧q），（p→q），（p∧q）→q）

等都不是合式公式。

为了减少使用圆括号的数量，约定最外层圆括号可以省略。

如果我们规定了联结词运算的优先次序为：┓，∧，∨，→，«，则p∧q→r也是合式公式。

有了联结词的合式公式概念，我们可以把自然语言中的有些语句，翻译成数理逻辑中的符号形式。

例题1 试以符号形式写出命题：我们要做到身体好、学习好、工作好，为祖国四化建设而奋斗。

解 找出各原子命题，并用命题符号表示：

a:我们要做到身体好。
b：我们要做到学习好。
c：我们要做到工作好。
p：我们要为祖国四化建设而奋斗。
故命题可形式化为：（a∧b∧c）«p

例题2 上海到北京的14次列车是下午五点半或六点开。

解 p：上海到北京的14次列车是下午五点半开。
q：上海到北京的14次列车是下午六点开。
在本例中，汉语的“或”是不可兼或，而逻辑联结词v是“可兼或”。因此不能直接对两命题析取。构造表如表1-3.1所示。

表1-3.1

p	q	原命题	p«q	┓（p→←q）
t	t	f	t	f
t	f	t	f	t
f	t	t	f	t
f	f	f	t	f

从表中可看出原命题不能用前述五个联结词单独写出，但是如用命题和联结词组合，可以把本命题表达为：┓（p«q）。

例题3 他既聪明又用功。

解 若设
p：他聪明。
q：他用功

在自然语言中这个“既……又……”显然与“且”的意义一样，故本例可记为：p∧q

例题4 他虽聪明但不用功。

解 这里“虽……但……”这个词不能用前述联结词表达，但其实际意义是：他聪明且不用功。
若设
p：他聪明。q：他用功。
本例可表示为：p∧┓q

例题5 除非你努力，否则你将失败。

解 这个命题的意义，亦可理解为：如果你不努力则你将失败。
若设
p：你努力。q：你失败。
本例可表示为：┓p→q

例题6 张三或李四都可以做这件事。

解 这个命题的意义是：张三可以做这件事，并且李四也可以做这件事。
若设
p：张三可以做这事。q：李四可以做这事。
本例可表示为：p∧q

从上面的例子中可以看到，自然语言中的一些联结词，如：“与“”且“”或“”除非…则…“等等都各有其具体含义，因此需分别不同情况翻译成适当的逻辑联结词。为了便于正确表达命题间的相互关系，有时也常常采用列出”真值表“的方法，进一步分析各原命题，以此寻找逻辑联结词，使原来的命题能够正确地用形式符号予以表达。