离散数学 第二章 谓词逻辑 2-4变元的约束

给定a为一个谓词公式，其中有一部分公式形式为（"x）p（x）或（ヨx）
（p（x））。这里"、ヨ后面所跟的x叫做量词的指导变元或作用变元，p（x）叫做相应量词的
作用域或辖域。在作用域中x的一切出现，称为x在a中约束出现，x亦称为被相应量词中的指导变元所约
束。在a中除去约束变元以外所出现的变元称作自由变元。自由变元是不受约束的变元，虽然它有时也在
量词的作用域中出现，但它不受相应量词中指导变元的约束，故我们可把自由变元看作是公式中的参数。

例题1 说明以下各式的作用域与变元约束的情况。

a）（"x）（p（x）→q（x））

b）（"x）（p（x）→（ヨy）r（x，y））

c）（"x）（"y）（p（x，y）∧q（y，z））∧（ヨx）p（x，y）

d）（"x）（p（x）∧（ヨx）q（x，y）→（ヨy）r（x，y））∨q（x，y）

解a）（"x）的作用域是p（x）→q（x），x为约束变元。

b）（"x）的作用域是p（x）→（ヨy）r（x，y）），（ヨy）的作用域是r（x，y），x，y都是
约束变元。

c）（"x）与（"y）的作用域是（p（x，y）∧q（y，z）），其中x，y是约束变元，z是自由
变元。（ヨx）的作用域是p（x，y），其中x是约束变元，y是自由变元。在整个公式中，x是约束出现，
y既是约束出现又是自由出现，z是自由出现。

d）（"x）的作用域是p（x）∧（ヨx）q（x，y）→（ヨy）r（x，y）），x
和y都是约束变元，但q（x，y）中的x是受ヨx的约束，而不是受"x的约束。
q（x，y）中的x，y是自由变元。

从约束变元的概念可以看出，p（x1，x2，…，xn）是n元谓词，它有n个相互独立的自由变元，若对其中
k个变元进行约束则成为n-k元谓词，因此，谓词公式中如果没有自由变元出现，则该式就成为一个命题。
例如，（"x）p（x，y，z）是二元谓词。（ヨy）（"x）p（x，y，z）是一元谓词。

为了避免由于变元的约束与自由同时出现，引起概念上的混乱，故可对约束变元进行换名。使得一个变
元在一个公式中只呈一种形式出现，即呈自由出现或呈约束出现。

我们知道，一个公式的约束变元所使用的名称符号是无关紧要的。故：若对其中（"x）p（x）与
（"x）p（y）具有相同的意义。设a（x）表示x不小于0，那么

（"x）a（x）表示一切x都使得x不小于0；

（"x）a（y）表示一切y都使得y不小于0；

（"x）a（t）表示一切t都使得t不小于0。

这三个命题在实数域中都表示假命题“一切实数均不小于 0” 。同理（ヨx）p（x）与（ヨy）
p（y）意义亦相同。

为此，我们可以对公式a中的约束变元更改名称符号，这种遵守一定规则的更改，称为约束变元的换
名。其规则为：
(1)对于约束变元可以换名，其更改的变元名称范围是量词中的指导变元，以及该量词作用域中所出
现的该变元，在公式的其余部分不变。
(2) 换名时一定要更改为作用域中没有出现的变元名称。

例题2对（"x）（p(x)→r（x，y））∧q（x，y）换名

解 可换名为：（"z）（p(z)→r（x，y））∧q（x，y），但不能改名为：（"y
）（p(y)→r（y，y））∧q（x，y）以 及（"z）（p(z)→r（x，y））∧q
（x，y）。因为后两种更改都将使公式中量词的约束范围有所变动。

对于公式中的自由变元，也允许更改，这种更改叫做代入。自由变元的代入，亦需要遵守一定的规则，
这个规则叫做自由变元的代入规则，现说明如下：
(1)对于谓词公式中的自由变元，可以作代入，代入时需要对公式中出现该自由变元的每一处进行。
(2) 用以代入的变元与原公式中所有变元的名称不能相同。

例题3 对($x)(py)ùr(x,y)代入。

解对y施行代入，经代入后公式为

($x)(p(z)ùr(x,z))

但是，($x)(p(x))ùr(x,x))与($x)(p(z)ùr(x,y))这两种代入都是与规则不符的。

需要指出，量词作用域中的约束变元，当论域的元素是有限时，客体变元的所有可能的取代是可枚举的。

设论域元素为：a1 , a2 , … , an 。

则有如下等价式： ("x)a(x) û a(a1) ∧a(a2 ) ∧,…, ∧a(an)

($x)a(x) û a(a1) ∨a(a2 ) ∨,…, ∨a(an)

量词对变元的约束，往往与量词的出现顺序有关。

又("y)( $x)(x<(y-2))表示任何y均有x，使得x<y-2。($y)( $x)(x<(y-2))
表示存在y有x，使得x<y-2。

这些命题中的多个量词，我们约定从左到右的次序读出。需要注意的是量词次序不能颠倒，否则将与
原题意义不符。